Ignorantiae autem fatuorum effunde.

En mi anterior artículo matemático había obtenido una condición que de modo suficiente garantizaba la convergencia al valor medio del cálculo integral para la sucesión de funciones de cambio variable. En el paper que ahora presento doy un paso más, hallando la condición necesaria y suficiente, esto es, equivalente, a dicha convergencia, si elegimos el valor de Xo de cierta manera, que es el punto donde vamos «midiendo las oscilaciones de la onda igualadora» que termina por igualar la altura del nivel en todo el intervalo de la función si se da la convergencia.

La demostración del teorema parejo contiene la prueba de los enunciados en ambos sentidos, tal y como se debe esperar de un teorema de equivalencia entre dos asertos.

Por una parte, se prueba que en caso de que una función cuya integral definida en un intervalo queramos obtener pertenece al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables y da lugar a una sucesión de cambio variable convergente, en ese caso se obtienen dos cosas de manera necesaria, que son, respectivamente, que la sucesión de derivadas de la función de partida tiene la función nula como límite; por otra parte, que se cumple la condición suficiente de convergencia hallada en los dos anteriores artículos de la serie, y que relaciona el máximo de la función en el intervalo con el recorrido máximo de la misma en el intervalo y con el intervalo.

En segundo lugar, se prueba la implicación en el otro sentido y se verifica que si se cumplen esas dos condiciones, entonces se produce la convergencia. Para ello, se tiene en cuenta la sucesión de funciones de cambio variable y se observa que bajo las premisas de la elección del valor de Xo, del hecho de suponer la función nula como límite de las funciones derivadas de la función de partida en la aplicación del método, y del hecho de suponer acotado el módulo de la función de partida por su rango dinámico dividido por la potencia n-ésima de la longitud del intervalo (con n cualquier número natural), en ese caso, necesariamente la sucesión de funciones analíticas que tenemos es una sucesión de Cauchy en el espacio de Hilbert L2, y por lo tanto, por ser éste un espacio vectorial normado y completo, es convergente. Sabemos además que, bajo esta casuística, la convergencia se produce hacia una función constante e igual al valor medio del cálculo integral, precisamente la función a la que converge también la sucesión de cambio equiescalado, tal y como se vio en el primer artículo de esta serie dedicada al método de vasos comunicantes, pues la convergencia de cualquiera de ellas es equivalente a la convergencia de la otra. Además de todo ésto, la sucesión de Cauchy que tenemos en el espacio vectorial L2, como resultado de las hipótesis de esta parte de la demostración, converge a un punto fijo de la sucesión de operadores que estructuran el método, dado que en este caso la sucesión de vectores es Liptschitziana y contractiva, de lo que se deriva precisamente que sea una sucesión de Cauchy. El artículo está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual.

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En el año 2015, presenté mi Tesis Fin de Máster en la especialidad de Análisis Matemático del Máster Universitario de Matemáticas Avanzadas de la UNED.

Mediante este trabajo de fin de Máster se intenta primeramente hacer una síntesis de los tópicos principales dentro del estudio de la dinámica de poblaciones. Se trata de una especialidad de la matemática aplicada que se enmarca en la disciplina de la biología matemática. Dicha disciplina tuvo su nacimiento en los años 20 del siglo pasado, con algunas aportaciones previas, y su estudio ha discurrido en paralelo al desarrollo de otras ramas en el marco del análisis de los sistemas dinámicos, que comparten para algunos casos particulares el patrón de las ecuaciones diferenciales que las articulan. Me refiero aquí a la teoría del caos, y a la teoría de bifurcaciones, campos de investigación muy activos durante todo el siglo XX, y cuyo interés mantiene su vigencia. Este primer foco de atención se centra en los aspectos fundamentales del estado de desarrollo actual de la dinámica poblacional. Esto es, como punto de partida introductorio, nos fijaremos en los modelos de una especie y los de dos especies, así como en los conceptos matemáticos necesarios para estudiar los sistemas poblacionales. Se pondrá especial atención en los trabajos pioneros llevados a cabo por los matemáticos Alfred J. Lotka y Vito Volterra. Estas tareas se llevan a cabo en los dos primeros capítulos. En el capítulo tercero se tratan los sistemas de Lotka-Volterra para un número de especies mayor que dos. Es decir, en él se generalizan los aspectos tratados en el segundo capítulo, aplicándolos a ecosistemas con mayor diversidad biológica, y atendiendo a las relaciones de interdependencia que existen entre las especies que los habitan.

Para finalizar, en el cuarto y último capítulo, se realiza el estudio mediante modelos matemáticos de la variabilidad poblacional en ecosistemas en los que se extraen ejemplares de manera “artificial”, esto es, mediante prácticas pesqueras o cinegéticas. Se realiza este análisis con el objeto de conocer cómo varían las poblaciones según distintas estrategias de pesca/capturas, y de averiguar las condiciones que deben evitarse para obtener un máximo rendimiento económico, sin forzar la extinción de las especies de interés. Se presenta además una introducción a las problemáticas existentes en las pesquerías, relacionadas con la búsqueda de un equilibrio óptimo entre el rendimiento económico y la supervivencia de las especies, sin la que la práctica de la pesca no tendría cabida.

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Hace ya bastante tiempo, tuve una idea que me pareció realmente bella. Tanto, que me di cuenta en el momento que se podían hacer nuevas matemáticas desarrollándola un poco.

Estaba pensando en cómo si introducimos un líquido en un mecanismo dotado de columnas huecas adyacentes unas a otras y practicamos un agujero lo suficientemente bajo en cada pared que separa columnas contiguas, resultará que el volumen de líquido es invariante, ni aumenta ni disminuye, y cuando se equilibran las fuerzas parejas a la presión hidrostática en cada columna, tendremos el mismo volumen de líquido que al principio, resultando ser por lo tanto la altura alcanzada igual al valor medio del cálculo integral de la función de partida. De esta manera, se me ocurrió que se podría construir una sucesión de funciones que imitara el comportamiento del nivel de líquido en todo el intervalo, con el objeto de obtener indirectamente la integral definida de la función inicial en dicho intervalo. La sucesión de funciones tendría como condición de construcción que la integral del nuevo nivel no variase en cada nueva iteración. Pues bien, tal y como era mi intención, he desarrollado esta bonita idea y el resultado ha sido el paper titulado «integración indirecta mediante el método de vasos comunicantes», que aquí presento en esta entrada.

A las personas que practican el odio o el «bullying» en las redes sociales, les diré que yo prefiero ser constructivo y hacer cosas de provecho, antes que odiar a nadie. Me parece una gran pérdida de tiempo y de energía. A esas personas les proporciono mi trabajo desinteresado, es decir, no les ofrezco odio. Nunca jamás entenderé los beneficios que obtienen los llamados «haters» y «trolls», y condeno su actitud. Hagamos el amor y no la guerra y busquemos el bien para todos.

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