Archive for the ‘ Ciencia ’ Category

El análisis de Leonhard Euler

 

 

En este facsímil de la obra clásica Introductio in analysin infinitorum, que desarrolló el bueno de Leonhard Euler, este prolífico matemático contribuyó con su peculiar forma de calcular al análisis matemático, en particular con lo conocido como análisis no estándar, en el que no era infrecuente ver desarrollos en serie de números trascendentes como pi o e.

Más específicamente, en estas dos hojas comenzaba su disertación sobre el concepto de función que él inventó y que todavía mantiene su vigencia, basada en una correspondiencia uno a uno entre un conjunto conocido como dominio de definición de la función y otro conjunto conocido como su recorrido. Concretamente, aquí se estaba extendiendo el concepto de función de una variable al de función de varias variables, asentando así las bases para el actual análisis multivariable.

 

 

El método de Isaac Newton de interpolación mediante diferencias finitas

 

 

En estas dos hojas estaba Isaac Newton desarrollando el método de interpolación por diferencias finitas, que utilizaría casi dos siglos después Charles Babbage en su diseño de la máquina de diferencias, y cuyo esquema modificó Lagrange adaptándolo a la expresión según polinomios de Lagrange, sabiendo que sólo hay un cambio de base y nada más, el polinomio interpolador de los puntos datos es único para cada problema y siempre el mismo (es fácil de ver si se expresa en la base canónica en ambas expresiones, y dado que la ligadura de ajustar una curva de grado N a N + 1 abscisas es un problema resoluble en un sistema de ecuaciones lineales determinado de Vandermonde), tanto según la forma de Newton, como con la de Lagrange. El verdadero inventor fue Newton, pero para la posteridad quedó como interpolación de Lagrange.

 

 

Saturación y distorsión armónica en señal de audio de un receptor FM con el volumen al máximo

 

En este video que he grabado el otro día, estuve viendo con el osciloscopio la señal de audio de un receptor de radio FM, con el volumen casi al máximo. Se puede observar perfectamente que el amplificador de audio entra en su rango de funcionamiento no-lineal, pasando a saturarse, cuando el volumen topea la máxima tensión que puede caer entre el condensador de filtro y masa.
En ese instante el sonido se distorsiona, por no ser amplificado, al alcanzar la tensión ese máximo valor que decía antes. Al final del video aumento la amplitud de la escala en el eje vertical y paso al modo combinado, mostrando abajo la transformada FFT, que es el estimador espectral empleado. Todo estimador espectral parte del concepto de que nosotros no podemos ver la señal desde menos infinito hasta más infinito en la pantalla del osciloscopio, sino que lo que vemos es la señal en tiempo enventanada con un pulso cuadrado de anchura el período de la señal de sincronismo del eje horizontal. Esto en frecuencia no da la transformada de Fourier de la señal, que es lo que idealmente querríamos obtener, sino la convolución en frecuencia de una función sin pi.w/ pi.w, o sea sinc, con la transformada de Fourier de la señal total en tiempo. Además de ello se aprecia que el espectro estimado no tiene exclusivamente las componentes banda base de la onda (algo similar a un triángulo centrado en el cero de la frecuencia) sino como cabía esperar aparece distorsión armónica, precisamente por estarse saturando el amplificador y no funcionar en su régimen lineal.

 

 

El tema de utilizar distintas transformaciones de la señal en tiempo para ver su composición en frecuencia no resulta extremadamente difícil de explicar. Una función temporal, que en definitiva es un vector en su espacio vectorial, se puede expresar según distintas bases de vectores. En este caso tenemos la base de los impulsos en tiempo, en función de los que podemos expresar con una integral el vector (una integral es un caso límite de una combinación lineal de vectores), y también tenemos la base de los impulsos en frecuencia. Cada impulso en frecuencia, que es un vector o señal, si lo expresamos en la base de los impulsos en tiempo tenemos una señal senoidal, que es una frecuencia pura. El espectro de una señal no es otra cosa que ver la señal o vector en otra base de vectores linealmente independientes distinta. Derivado de esta filosofía aparecen propiedades como el teorema de Parcival, que dice que la energía en frecuencia (La norma al cuadrado del vector en la base de la frecuencia) de una señal coincide con la energía en tiempo (La norma al cuadrado del vector en la base del tiempo). Ésto no es difícil de asimilar si tenemos en cuenta que el vector es en ambos casos el mismo y que en ambos casos usamos el mismo producto escalar, esto es, la integral entre menos infinito y más infinito del producto de la señal por el conjugado de esa misma señal, ya sea en tiempo o en frecuencia, y que arroja como resultado la norma al cuadrado o energía de la señal. En todo momento estamos hablando de un único vector que es la señal, pero a este vector lo podemos referenciar respecto a distintas bases. Lo mismo ocurre con otras transformadas matemáticas que se emplean en telecomunicaciones, como la transformada de Laplace, empleada para señales en las que existe un amortigüamiento, la transformada Wavelet, que emplea como vectores de la base las ondículas o señales chirp, y que permiten elegir la granularidad en nuestro análisis en frecuencia, o la transformada Z.

 

Mujeres extraordinarias (III). Hipatia de Alejandría.

 

 

Hipatia de Alejandría es considerada, según una gran cantidad de autores, como la última gran científica de la Antigüedad. Aunque se desconocen muchas cosas de su vida, se sabe lo suficiente como para poder catalogarla como una gran maestra y divulgadora.

No se conservan sus trabajos y las fuentes bibliográficas fiables son realmente escasas. Aún así, existe un acuerdo en torno a la consideración de que las mejores fuentes que se poseen de ella son los trabajos de Sócrates Escolástico y las cartas que le escribió Sinesio de Cirene, quien para Hipatia era su alumno favorito.

En los últimos siglos se han extendido desinformaciones en relación a la vida y obra de esta astrónoma griega. Esto sucedió dado que su historia era muy jugosa para arremeter contra el fanatismo religioso, cosa que los ilustrados franceses no dudaron en hacer. Su leyenda comenzó con Voltaire, alcanzando el cénit con los poemas de Leconte de Lisle, el que la definió como “el espíritu de Platón en el cuerpo de Afrodita”. En  esta misma web he aludido como causa de su muerte el fanatismo religioso, cosa que trato de corregir con este artículo, reconociendo que cada vez más investigadores apuntan a la política como motor de las circunstancias que ocasionaron su forzado óbito. En cualquier caso, su asesinato fue de extrema crueldad y un punto de cambio en la historia de la ciencia y la filosofía.

Se sabe que Hipatia nació y vivió siempre en Alejandría y parece poco probable su viaje a Atenas, cosa que se ha afirmado en distintas ocasiones en torno a sus circunstancias vitales. Se desconoce la fecha de su nacimiento, pero se acepta actualmente que ello ocurrió en el año 355, cosa a la que apuntan las cartas de Sinesio.

El padre de Hipatia fue Teón, un prestigioso matemático, director de la tristemente desaparecida biblioteca de Alejandría. Hipatia tuvo, por lo tanto, un acceso privilegiado al conocimiento, cosa muy poco común en las mujeres contemporáneas de ella.

No se conservan los trabajos de Hipatia, pero se sabe que como mínimo escribió un comentario a la Aritmética de Diofanto: el Canon astronómico. Hipatia estaba especialmente dotada para el álgebra y la astronomía y fue una gran profesora y comunicadora. Tuvo también tiempo para cultivar la filosofía neoplatónica, sobre la que impartió conferencias públicas y privadas. Pero también fue inventora, se interesó en la tecnología, contribuyendo con un hidrómetro y un destilador de agua. Contribuyó asimismo al perfeccionamiento del astrolabio.

Hipatia fue asesinada en el 415, probablemente a los 60 años de edad, de una forma brutal y salvaje por un grupo de energúmenos.

La historia de Hipatia no está libre de controversia. Existen voces que aseguran que no fue importante para la historia de la ciencia. A mí me parece que se le debe reconocer su dedicación al estudio y la transmisión del conocimiento en una época muy complicada.

Un libro muy bueno para profundizar sobre la leyenda y la historia de Hipatia es: Margaret Alec, El legado de Hipatia. Historia de las mujeres en la ciencia desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX, Madrid: Siglo XXI, 2005. También es reseñable Maria Dzielska, Hipatia de Alejandría, Madrid: Siruela, 2009. Como libro de introducción en la historia y contribuciones de las mujeres matemáticas a lo largo de la historia, muy recomendable El árbol de Emmy, por Eduardo Sáenz de Cabezón, más conocido por el programa de divulgación Órbita Laika.

La película de Alejandro Amenábar y Mateo Gil, merece también la pena, aunque en ella se han utilizado algunas licencias histórico-científicas. Alejandro Amenábar (director), Ágora, 2009.

 

 

Créditos de los datos históricos: @Los tres Chanchitos, cuenta de Twiter.

Créditos de la imagen: Arriba, Hipatia, en un detalle de La escuela de Atenas del pintor Rafael.

 

Los radiofaros Consol (Elektra-Sonne) – (23).- Informe de Reginald V. Jones ‘Navigation and War’ (III). La primera Guerra Mundial.-

 

Así, en 1914 se habían concebido tres importantes técnicas de radio para establecer las demoras de aeronaves, y ahora se trataba de determinar cuáles serían adecuadas para los fines de la guerra. las primeras pruebas serias vinieron en las incursiones del Zeppelín en Inglaterra por la noche, que comenzó el 19 de enero de 1915. Las primeras incursiones dependían de la observación visual de los rasgos de la superficie, complementados por el cálculo de los muertos. Los errores consiguientes mostraron rápidamente la necesidad de nuevas ayudas, y se establecieron estaciones de radiogoniometría en Borkum y en Nordholz, que más tarde se complementaron con otras en Sylt y cerca de Bruges.
El sistema tenía graves defectos; los primeros fueron debidos a fenómenos de propagación inesperados, principalmente debido a las reflexiones de la capa de Heaviside o ionosfera, y si se comprobaba la precisión de las demoras, aparecían errores de más de 50 millas. La segunda falla del sistema, dependiente como era de las estaciones terrestres D/F, era que la aeronave tenía que transmitir, revelando así sus posiciones tanto al enemigo como a sus propias bases; y otra falla fue que la capacidad del sistema estaba muy limitada porque las estaciones terrestres sólo podían localizar una aeronave a la vez. Aún así, von Buttlar-Brandenfels, el único comandante de zepelín que voló durante la guerra, concluyó que la navegación por radio era mucho mejor que la basada en observaciones astronómicas.
Los Zepelines no lograron hacer un daño serio a Inglaterra, y sus bajas (tanto por la mala navegación como por la defensa contraria) fueron tan graves que en 1917 los alemanes cambiaron a los aviones para el ataque. Al principio, en el verano de 1917, estos ataques fueron de día; pero en el otoño de ese año los principales ataques se habían cambiado a la noche, donde la navegación básica seguía siendo la lectura de mapas, el uso de la luz de la luna y la selección de objetivos fácilmente identificables por su proximidad a las costas o estuarios.
En cuanto al desarrollo británico de las técnicas de navegación por radio, teníamos muchas pruebas de los errores involucrados, de las intercepciones, de las “fijaciones” de radio alemanas en los zepelines, que podrían compararse con sus posiciones reales registradas por nuestras defensas terrestres. Esta evidencia mostró que deberíamos necesitar un sistema mucho mejor si, como se pretendía en 1918, íbamos a intentar bombardear Berlín; pero se pensó que ya se habían logrado las mejoras necesarias en la técnica, por lo que la precisión debería ser del orden de 5-7 millas.
La guerra terminó antes de que esta creencia tan optimista pudiera ser puesta a prueba.

 

 

Condición necesaria y suficiente para la convergencia del método de vasos comunicantes en el espacio de Hilbert L2.

 

 

En mi anterior artículo matemático había obtenido una condición que de modo suficiente garantizaba la convergencia al valor medio del cálculo integral para la sucesión de funciones de cambio variable. En el paper que ahora presento doy un paso más, hallando la condición necesaria y suficiente, esto es, equivalente, a dicha convergencia, si elegimos el valor de Xo de cierta manera, que es el punto donde vamos “midiendo las oscilaciones de la onda igualadora” que termina por igualar la altura del nivel en todo el intervalo de la función si se da la convergencia.

 


 

La demostración del teorema parejo contiene la prueba de los enunciados en ambos sentidos, tal y como se debe esperar de un teorema de equivalencia entre dos asertos.

Por una parte, se prueba que en caso de que una función cuya integral definida en un intervalo queramos obtener pertenece al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables y da lugar a una sucesión de cambio variable convergente, en ese caso se obtienen dos cosas de manera necesaria, que son, respectivamente, que la sucesión de derivadas de la función de partida tiene la función nula como límite; por otra parte, que se cumple la condición suficiente de convergencia hallada en los dos anteriores artículos de la serie, y que relaciona el máximo de la función en el intervalo con el recorrido máximo de la misma en el intervalo y con el intervalo.

 

 

En segundo lugar, se prueba la implicación en el otro sentido y se verifica que si se cumplen esas dos condiciones, entonces se produce la convergencia. El artículo está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual.

 

PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUI: condicion_equivalente_de_convergencia

 

Los radiofaros Consol (Elektra-Sonne) – (22).- Informe de Reginald V. Jones ‘Navigation and War’ (II). Navegación aérea anterior a 1914.-

 

El desarrollo de la aviación, con sus velocidades mucho más altas, tanto de las aeronaves mismas como de los vientos, y con el frecuente oscurecimiento de los rasgos de la superficie de la Tierra, dio un énfasis completamente nuevo a la importancia de la navegación, y especialmente de la prontitud en la determinación de la posición con respecto a un objetivo o una base, en condiciones que normalmente eran mucho más estrictas y perturbadas que las correspondientes a la navegación marina.

Incluso los globos y las aeronaves requerían algún tipo de instrumentación; y los aviones, con sus altas aceleraciones de giro, mostraban graves defectos en los instrumentos que habían sido adaptados del uso marítimo.

Además de la aparente dirección de la gravedad, esencial para establecer un horizonte artificial, la aeronave podría desviarse salvajemente de la vertical con serias consecuencias como el error de giro al norte del compás magnético. Para 1913, la importancia de la instrumentación era tal que la Real Sociedad Aeronáutica dedicó el primer vuelo cuya lecture dedicó Wilbur Wright al asunto, basada en los trabajos del gran diseñador de instrumentos Horace Darwin.

Y cuando estalló la guerra en 1914, en Farnborough se reunieron los mejores científicos para trabajar en la instrumentación de las aeronaves, incluyendo a Keith Lucas, quien analizó el error de giro hacia el norte, Lindemann (luego Lord Cherwell) quien encontró cómo recuperar una aeronave de un giro, y muchos otros. Mucho antes de 1914 algunos hombres habían comenzado a visualizar formas de usar ondas de radio como medio para establecer las posiciones de las naves o aviones.

En 1907, Bellini y Tosi produjeron un diseño de dos antenas receptoras cruzadas en ángulos rectos, con las que las direcciones de las ondas entrantes se podían deducir de las magnitudes de las corrientes que inducían en las antenas; así se podía establecer la dirección de la aeronave o del barco que estaba emitiendo las ondas.

Ese mismo año, Scheller, de la Compañía Lorenz, patentó un sistema de dos antenas transmisoras usando un transmisor común que iba cambiado de una a otra la transmisión, de manera que una enviaba un patrón repetitivo de caracteres Morse como A (. -) que era complementario al enviado por la otra, en este caso N (- . ) . Si el receptor estuviera en un punto adecuado, recogería las señales de ambas antenas con la misma fuerza, y como los N encajarían exactamente en los huecos de las A, el operador simplemente oiría un tono continuo. Pero si el receptor se apartara de este punto a otro más alejado del campo de la transmisión de la primera antena, el operador oiría la A más fuerte que la N y viceversa. Este dispositivo resulta ser una forma sorprendentemente sensible de posicionar el receptor en la línea de señales iguales de las dos antenas y, como veremos, iba a convertirse en una aportación vital en 1940. El sistema fue probado en barcos en el año 1914, y en 1917 Kiebitz en Alemania hizo pruebas en aviones; pero con relativamente grandes longitudes de onda (350 y 550m), que provocaron dificultades con la propagación y con las antenas dando lugar a diferencias de percepción que causaron resultados contradictorios. Aún así, Buchwald apuntó en 1920 que una nave a 85 km de distancia era capaz de ubicarse lateralmente con una precisión de 400 metros. También en 1907, la Compañía Telefunken patentó la “brújula de radio” que comprendía 32 antenas direccionales, cada una de las cuales irradiaba principalmente a su punto apropiado de la brújula. El transmisor de radio iba cambiado sucesivamente a cada antena a intervalos de un segundo, comenzando en el norte después de una señal de identificación. Por lo tanto, un operador con un receptor sólo tenía que contar el número de segundos después de la señal de identificación antes de que la señal de la brújula alcanzara su máxima intensidad, para establecer su orientación de la brújula desde el lugar de transmisión; esta operación se facilitó aún más al dar al operador un cronómetro cuya aguja giraba completamente en 32 segundos, que iniciaba en el final de la señal de identificación y luego se detenía cuando la señal de la brújula llegaba al máximo.

 

Un poco de ornitología en la comarca de Terra Chá.

 

Como en esta web trato de desarrollar todos mis hobbies de un modo que resulte ameno, incluyo en esta entrada algunas de las fotos que he obtenido en mis escapadas de ornitólogo aficionado en distintas épocas del año, por los contornos de la comarca de Terra Chá, donde resido.

 

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La primera foto representa a un alcaudón dorsirrojo (Lanius collurio) en actitud de perchado sobre una zarza. Los alcaudones dorsirrojos son visitantes estivales de esta comarca. De los alcaudones podemos reseñar su costumbre de empalar a las presas en el espino para poder desgarrarlas. La presente fotografía ha sido obtenida con una cámara bridge en modo RAW, y posteriormente revelada en jpg, con una ISO en torno a 800.

 

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La segunda foto se corresponde con una bandada de avefrías en vuelo (Vanellus vanellus). Hace años existía una colonia nidificante de estas aves en las proximidades de la laguna de Valverde, pero actualmente son un poco más difíciles de ver.

 

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La fotografía que sigue fue tomada desde uno de los observatorios que existen en el perímetro de la laguna de Valverde y representa una acumulación en la superficie de una gran cantidad de especímenes de la especie cerceta común (Anas crecca), tanto machos (cabeza verde y naranja) como hembras (tonalidad parda), a la que se han agregado algunos azulones o ánades reales (cabeza verde) (Anas platyrhynchos). Esta toma se obtuvo durante la invernada, ya que las cercetas no crían aquí. Se usó una cámara de sensor micro cuatro tercios acoplada en digiscoping en segunda focal a un telescopio terrestre Swarovski.

 

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Con el mismo equipo se ha tomado esta foto de un primer plano de una cerceta común macho (Anas crecca).

 

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Por otra parte la fotografía que precede este párrafo muestra a un cormorán grande (Phalacrocorax carbo). Esta especie vive y cría en ríos y lagunas de interior. Su primo el cormorán moñudo (Phalacrocorax aristotelis) habita en la costa.

 

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La anterior fotografía representa unos ejemplares de ánade real con un par de ejemplares de pato cuchara (Anas clypeata). El pato cuchara se limita sólo a invernar en este humedal.

 

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La siguiente fotografía, tomada con cámara bridge, nos muestra un ejemplar de garza real (Ardea cinerea), especie muy frecuente por estos parajes.

 

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En la toma anterior, obtenida con cámara de sensor micro cuatro tercios y digiscoping en segunda focal, se observa un “bodegón” formado por ánades reales, un porrón moñudo (Aythia fuligula) macho y un pato mandarín (Aix galericulata) macho, de preciosa librea.

 

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La anterior foto representa un porrón moñudo (Aythia fuligula) macho, acompañado de dos hembras. Aunque se trata de una especie fundamentalmente invernante, se han detectado casos de cría hace algunos años en estos humedales.

 

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Representa la anterior toma un conjunto de porrones moñudos, algunos de ellos claramente en fase de eclipse. Fotografía obtenida con cámara bridge en condiciones de buena luz.

 

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Le sigue una foto del pato mandarín, en un día de niebla, que aún así, forzando un poco la cámara bridge, rayando casi con el ruido, dio un resultado satisfactorio.

 

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La foto anterior muestra un rascón (Rallus aquaticus), de la misma familia que las gallinetas comunes o las fochas (Rallidae). Tomada con cámara bridge y cerca del modelo.

 

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Para finalizar este recorrido ornitológico por la comarca de Terra Chá incluyo una fotografía de un zorzal común (Turdus philomelos), y en la siguiente y última una toma de un estornino negro (Sturnis unicolor), ambas capturadas también con cámara bridge en modo RAW y editadas para el revelado.

Y nada más de momento. Ésta es la manera que conozco de cazar, y es inofensiva para todos. No causa ningún sufrimiento. Esa motivación de buscar la fotografía perfecta, que nunca se da conseguido, es mucho más sana y sobre todo agradecida para todo el mundo que la ¿¿adrenalina??¿¿soberbia?? que se descarga al pegar un tiro. Mi única religión es NO a la caza ni a la tauromaquia.

 

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