Archive for the ‘ Matemáticas ’ Category

El método de Isaac Newton de interpolación mediante diferencias finitas

 

 

En estas dos hojas estaba Isaac Newton desarrollando el método de interpolación por diferencias finitas, que utilizaría casi dos siglos después Charles Babbage en su diseño de la máquina de diferencias, y cuyo esquema modificó Lagrange adaptándolo a la expresión según polinomios de Lagrange, sabiendo que sólo hay un cambio de base y nada más, el polinomio interpolador de los puntos datos es único para cada problema y siempre el mismo (es fácil de ver si se expresa en la base canónica en ambas expresiones, y dado que la ligadura de ajustar una curva de grado N a N + 1 abscisas es un problema resoluble en un sistema de ecuaciones lineales determinado de Vandermonde), tanto según la forma de Newton, como con la de Lagrange. El verdadero inventor fue Newton, pero para la posteridad quedó como interpolación de Lagrange.

 

 

Saturación y distorsión armónica en señal de audio de un receptor FM con el volumen al máximo

 

En este video que he grabado el otro día, estuve viendo con el osciloscopio la señal de audio de un receptor de radio FM, con el volumen casi al máximo. Se puede observar perfectamente que el amplificador de audio entra en su rango de funcionamiento no-lineal, pasando a saturarse, cuando el volumen topea la máxima tensión que puede caer entre el condensador de filtro y masa.
En ese instante el sonido se distorsiona, por no ser amplificado, al alcanzar la tensión ese máximo valor que decía antes. Al final del video aumento la amplitud de la escala en el eje vertical y paso al modo combinado, mostrando abajo la transformada FFT, que es el estimador espectral empleado. Todo estimador espectral parte del concepto de que nosotros no podemos ver la señal desde menos infinito hasta más infinito en la pantalla del osciloscopio, sino que lo que vemos es la señal en tiempo enventanada con un pulso cuadrado de anchura el período de la señal de sincronismo del eje horizontal. Esto en frecuencia no da la transformada de Fourier de la señal, que es lo que idealmente querríamos obtener, sino la convolución en frecuencia de una función sin pi.w/ pi.w, o sea sinc, con la transformada de Fourier de la señal total en tiempo. Además de ello se aprecia que el espectro estimado no tiene exclusivamente las componentes banda base de la onda (algo similar a un triángulo centrado en el cero de la frecuencia) sino como cabía esperar aparece distorsión armónica, precisamente por estarse saturando el amplificador y no funcionar en su régimen lineal.

 

 

El tema de utilizar distintas transformaciones de la señal en tiempo para ver su composición en frecuencia no resulta extremadamente difícil de explicar. Una función temporal, que en definitiva es un vector en su espacio vectorial, se puede expresar según distintas bases de vectores. En este caso tenemos la base de los impulsos en tiempo, en función de los que podemos expresar con una integral el vector (una integral es un caso límite de una combinación lineal de vectores), y también tenemos la base de los impulsos en frecuencia. Cada impulso en frecuencia, que es un vector o señal, si lo expresamos en la base de los impulsos en tiempo tenemos una señal senoidal, que es una frecuencia pura. El espectro de una señal no es otra cosa que ver la señal o vector en otra base de vectores linealmente independientes distinta. Derivado de esta filosofía aparecen propiedades como el teorema de Parcival, que dice que la energía en frecuencia (La norma al cuadrado del vector en la base de la frecuencia) de una señal coincide con la energía en tiempo (La norma al cuadrado del vector en la base del tiempo). Ésto no es difícil de asimilar si tenemos en cuenta que el vector es en ambos casos el mismo y que en ambos casos usamos el mismo producto escalar, esto es, la integral entre menos infinito y más infinito del producto de la señal por el conjugado de esa misma señal, ya sea en tiempo o en frecuencia, y que arroja como resultado la norma al cuadrado o energía de la señal. En todo momento estamos hablando de un único vector que es la señal, pero a este vector lo podemos referenciar respecto a distintas bases. Lo mismo ocurre con otras transformadas matemáticas que se emplean en telecomunicaciones, como la transformada de Laplace, empleada para señales en las que existe un amortigüamiento, la transformada Wavelet, que emplea como vectores de la base las ondículas o señales chirp, y que permiten elegir la granularidad en nuestro análisis en frecuencia, o la transformada Z.

 

Mujeres extraordinarias (III). Hipatia de Alejandría.

 

 

Hipatia de Alejandría es considerada, según una gran cantidad de autores, como la última gran científica de la Antigüedad. Aunque se desconocen muchas cosas de su vida, se sabe lo suficiente como para poder catalogarla como una gran maestra y divulgadora.

No se conservan sus trabajos y las fuentes bibliográficas fiables son realmente escasas. Aún así, existe un acuerdo en torno a la consideración de que las mejores fuentes que se poseen de ella son los trabajos de Sócrates Escolástico y las cartas que le escribió Sinesio de Cirene, quien para Hipatia era su alumno favorito.

En los últimos siglos se han extendido desinformaciones en relación a la vida y obra de esta astrónoma griega. Esto sucedió dado que su historia era muy jugosa para arremeter contra el fanatismo religioso, cosa que los ilustrados franceses no dudaron en hacer. Su leyenda comenzó con Voltaire, alcanzando el cénit con los poemas de Leconte de Lisle, el que la definió como “el espíritu de Platón en el cuerpo de Afrodita”. En  esta misma web he aludido como causa de su muerte el fanatismo religioso, cosa que trato de corregir con este artículo, reconociendo que cada vez más investigadores apuntan a la política como motor de las circunstancias que ocasionaron su forzado óbito. En cualquier caso, su asesinato fue de extrema crueldad y un punto de cambio en la historia de la ciencia y la filosofía.

Se sabe que Hipatia nació y vivió siempre en Alejandría y parece poco probable su viaje a Atenas, cosa que se ha afirmado en distintas ocasiones en torno a sus circunstancias vitales. Se desconoce la fecha de su nacimiento, pero se acepta actualmente que ello ocurrió en el año 355, cosa a la que apuntan las cartas de Sinesio.

El padre de Hipatia fue Teón, un prestigioso matemático, director de la tristemente desaparecida biblioteca de Alejandría. Hipatia tuvo, por lo tanto, un acceso privilegiado al conocimiento, cosa muy poco común en las mujeres contemporáneas de ella.

No se conservan los trabajos de Hipatia, pero se sabe que como mínimo escribió un comentario a la Aritmética de Diofanto: el Canon astronómico. Hipatia estaba especialmente dotada para el álgebra y la astronomía y fue una gran profesora y comunicadora. Tuvo también tiempo para cultivar la filosofía neoplatónica, sobre la que impartió conferencias públicas y privadas. Pero también fue inventora, se interesó en la tecnología, contribuyendo con un hidrómetro y un destilador de agua. Contribuyó asimismo al perfeccionamiento del astrolabio.

Hipatia fue asesinada en el 415, probablemente a los 60 años de edad, de una forma brutal y salvaje por un grupo de energúmenos.

La historia de Hipatia no está libre de controversia. Existen voces que aseguran que no fue importante para la historia de la ciencia. A mí me parece que se le debe reconocer su dedicación al estudio y la transmisión del conocimiento en una época muy complicada.

Un libro muy bueno para profundizar sobre la leyenda y la historia de Hipatia es: Margaret Alec, El legado de Hipatia. Historia de las mujeres en la ciencia desde la Antigüedad hasta fines del siglo XIX, Madrid: Siglo XXI, 2005. También es reseñable Maria Dzielska, Hipatia de Alejandría, Madrid: Siruela, 2009. Como libro de introducción en la historia y contribuciones de las mujeres matemáticas a lo largo de la historia, muy recomendable El árbol de Emmy, por Eduardo Sáenz de Cabezón, más conocido por el programa de divulgación Órbita Laika.

La película de Alejandro Amenábar y Mateo Gil, merece también la pena, aunque en ella se han utilizado algunas licencias histórico-científicas. Alejandro Amenábar (director), Ágora, 2009.

 

 

Créditos de los datos históricos: @Los tres Chanchitos, cuenta de Twiter.

Créditos de la imagen: Arriba, Hipatia, en un detalle de La escuela de Atenas del pintor Rafael.

 

Condición necesaria y suficiente para la convergencia del método de vasos comunicantes en el espacio de Hilbert L2.

 

 

En mi anterior artículo matemático había obtenido una condición que de modo suficiente garantizaba la convergencia al valor medio del cálculo integral para la sucesión de funciones de cambio variable. En el paper que ahora presento doy un paso más, hallando la condición necesaria y suficiente, esto es, equivalente, a dicha convergencia, si elegimos el valor de Xo de cierta manera, que es el punto donde vamos “midiendo las oscilaciones de la onda igualadora” que termina por igualar la altura del nivel en todo el intervalo de la función si se da la convergencia.

 


 

La demostración del teorema parejo contiene la prueba de los enunciados en ambos sentidos, tal y como se debe esperar de un teorema de equivalencia entre dos asertos.

Por una parte, se prueba que en caso de que una función cuya integral definida en un intervalo queramos obtener pertenece al espacio de Hilbert de las funciones cuadrado-integrables y da lugar a una sucesión de cambio variable convergente, en ese caso se obtienen dos cosas de manera necesaria, que son, respectivamente, que la sucesión de derivadas de la función de partida tiene la función nula como límite; por otra parte, que se cumple la condición suficiente de convergencia hallada en los dos anteriores artículos de la serie, y que relaciona el máximo de la función en el intervalo con el recorrido máximo de la misma en el intervalo y con el intervalo.

 

 

En segundo lugar, se prueba la implicación en el otro sentido y se verifica que si se cumplen esas dos condiciones, entonces se produce la convergencia. El artículo está convenientemente registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual.

 

PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUI: condicion_equivalente_de_convergencia

 

Condición suficiente de arranque para la convergencia del método de vasos comunicantes en el espacio de Banach L2

 

En mis dos anteriores artículos matemáticos había explicado la heurística y la descripción formal del método de vasos comunicantes, cuyo objeto es obtener mediante una vía indirecta la integral definida de una función regular en un intervalo [a,b].

En el segundo artículo de la serie me había centrado en hallar una condición suficiente que garantizase la convergencia de dicho método, según el esquema de la sucesión de cambio variable. La condición obtenida, que incluyo en la primera imagen de esta entrada, sintetiza en una desigualdad la materialización del concepto de que los operadores que van aplanando la función de partida son liptschitzianos y contractivos. Sin embargo no se trata de una condición fácilmente verificable, dado que su uso implica la comprobación de que se cumple la inecuación para cada valor de k, o al menos para un número finito mayor que 1 de casos.

 

 

Ésta es la motivación que me ha llevado a desarrollar un poco más los cálculos, simplificarlos en la medida de lo posible, y encontrar una expresión en función del rango dinámico de f(x) y el máximo valor del módulo de esta función, cuyo cumplimiento implique además el cumplimiento de la inecuación obtenida en el segundo artículo de la serie, pero que se ponga en práctica en un único paso, con comprobaciones sobre la función de partida f(x).

 

 

La expresión final que encuentro es la de la anterior imagen, y es la que se erige como condición suficiente de convergencia de la sucesión de cambio variable en el espacio de Hilbert L2.

 

PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUI: condicion_suficiente_de_arranque

 

Lanzamiento de la aplicación web Billiards Trainer

 

 

En el año 2005 desarrollé el método de la bola virtual, un método matemático que he creado para dar soporte a los jugadores de billar. En el artículo correspondiente, que se puede descargar de esta web en la sección de ‘Mis métodos matemáticos’ desde este enlace metodo_bola_virtual, se adelantaba que una posible aplicación del mismo sería una aplicación de entrenamiento, a la que se le suministrasen los parámetros de la jugada descritos en el paper, obtenidos con un medidor láser de distancias.

Pues bien, catorce años más tarde he vuelto sobre mis pasos y he implementado una aplicación web de nombre Billiards Trainer, que he registrado en el Registro de la Propiedad Intelectual, y que he desplegado en la url que sigue:
https://www.eclecticamente.com/BilliardsTrainer/index.html.

La aplicación muestra un formulario donde se deben rellenar los parámetros característicos de la jugada que se quiere realizar (largo y ancho de la mesa, posición de la bola objetivo en coordenadas tomadas respecto a los ejes cartesianos ubicados en la esquina inferior izquierda de la mesa, posición de la bola transmisora (normalmente es la bola blanca, salvo jugadas compuestas), número de toques en bandas izquierda (l), derecha (r), inferior (d) y superior (u), signos horizontal y vertical de banda (Sx y Sy), que indican la última banda alcanzada para cada par de bandas de igual paridad (-1 para última banda izquierda o inferior y +1 para última banda derecha o superior, respectivamente), el signo de banda (Sb), que indica si en la jugada la trayectoria comienza alcanzando banda par (Sb=2) o impar (Sb=1), el radio de una bola no blanca, el ancho del agujero de la tronera central y el ancho de una tronera de una esquina proyectado sobre cualquiera de las dos bandas que separa.

Con todos estos datos, que describen un plan de jugada, la aplicación determina si la jugada es imposible o si es posible, y en este último caso calcula además el punto de corte a donde debemos dirigir la bola blanca en la primera banda de la jugada, identificado con su distancia al origen de coordenadas en la dirección variable.

Es imprescindible para tomar las medidas antes de efectuar la jugada el poseer un medidor láser de distancias, como el que muestro en la siguiente imagen.

 

 

Como no es una aplicación computacionalmente compleja, no se cobra por su uso, pero se aceptan donaciones.

 

 

El concepto de verdad en matemáticas, por Jesús Mª Landart Ercilla.

 

 

Conozco a Jesús María Landart Ercilla desde el año 2005. Ya entonces me sorprendió su agradable conversación y su calidad de polímata. Era como hablar con una enciclopedia Espasa andante, pero con las emociones de un humano. Me hice amigo enseguida de él. Y desde entonces mantenemos una comunicación fluida mediante medios electrónicos. Es una gran persona y se hace querer desde el minuto cero.

Pero Jesús es mucho más que mi amigo. Estudió ingeniería técnica electrónica, es licenciado en matemáticas y graduado en filosofía, complementado con un Máster en Lógica, Historia y Filosofía de la Ciencia. Nunca o casi nunca bajó del 10 y del primer puesto en su promoción. Es por ello que le tengo un gran respeto. Se trata de quizás uno de los últimos renacentistas que quedan, en una sociedad que valora lo inmediato, lo fácil, lo gratuito, lo que no requiere esfuerzo. Me da miedo incluso destripar aquí su último libro, que en realidad es la versión impresa de su Tesis Fin de Máster en Lógica, Historia y Filosofía de la Ciencia, y que lleva por título “El concepto de verdad en matemáticas”. Y es que se frivoliza mucho con el concepto de verdad, y debo reconocer que soy la primera persona en hacerlo.

Es por ello que, ahora que ya lo he presentado, introduzco la reseña del libro usando sus mismas palabras, para no faltar a la verdad.

“La teoría clásica de la verdad matemática afirma que la deducción a partir de axiomas intuitivos es condición suficiente y necesaria para la verdad matemática. Al menos tres crisis importantes a lo largo de los últimos ciento cincuenta años quebraron esta confianza: la irrupción de geometrías no euclídeas, el descubrimiento de contradicciones en el seno de la teoría de conjuntos y la constatación de la existencia de limitaciones intrínsecas en los sistemas axiomáticos. La última esperanza, la posibilidad de encontrar un algoritmo que respondiera a toda pregunta bien formulada, se desvanecía igualmente. Quedaba una concepción mucho más débil de verdad matemática, menos ingenua y de gran riqueza de matices.”

Dejo aquí los enlaces a la versión impresa y a la versión en PDF del libro, para quien lo quiera comprar o descargar. Se trata de un libro que todas las personas que estudian carreras técnicas deberían leer. Porque está muy bien escrito, con mucho rigor. Al leerlo, uno no diferencia si la mente que hay detrás de él es la de un premio Nóbel o la mente de una persona próxima, humana y buena como él lo es.

 

Versión impresa


Versión en PDF

Síntesis de dinámica de poblaciones con aplicación a sistemas de pesca/capturas

 

 

En el año 2015, presenté mi Tesis Fin de Máster en la especialidad de Análisis Matemático del Máster Universitario de Matemáticas Avanzadas de la UNED.

Mediante este trabajo de fin de Máster se intenta primeramente hacer una síntesis de los tópicos principales dentro del estudio de la dinámica de poblaciones. Se trata de una especialidad de la matemática aplicada que se enmarca en la disciplina de la biología matemática. Dicha disciplina tuvo su nacimiento en los años 20 del siglo pasado, con algunas aportaciones previas, y su estudio ha discurrido en paralelo al desarrollo de otras ramas en el marco del análisis de los sistemas dinámicos, que comparten para algunos casos particulares el patrón de las ecuaciones diferenciales que las articulan. Me refiero aquí a la teoría del caos, y a la teoría de bifurcaciones, campos de investigación muy activos durante todo el siglo XX, y cuyo interés mantiene su vigencia. Este primer foco de atención se centra en los aspectos fundamentales del estado de desarrollo actual de la dinámica poblacional. Esto es, como punto de partida introductorio, nos fijaremos en los modelos de una especie y los de dos especies, así como en los conceptos matemáticos necesarios para estudiar los sistemas poblacionales. Se pondrá especial atención en los trabajos pioneros llevados a cabo por los matemáticos Alfred J. Lotka y Vito Volterra. Estas tareas se llevan a cabo en los dos primeros capítulos. En el capítulo tercero se tratan los sistemas de Lotka-Volterra para un número de especies mayor que dos. Es decir, en él se generalizan los aspectos tratados en el segundo capítulo, aplicándolos a ecosistemas con mayor diversidad biológica, y atendiendo a las relaciones de interdependencia que existen entre las especies que los habitan.

Para finalizar, en el cuarto y último capítulo, se realiza el estudio mediante modelos matemáticos de la variabilidad poblacional en ecosistemas en los que se extraen ejemplares de manera “artificial”, esto es, mediante prácticas pesqueras o cinegéticas. Se realiza este análisis con el objeto de conocer cómo varían las poblaciones según distintas estrategias de pesca/capturas, y de averiguar las condiciones que deben evitarse para obtener un máximo rendimiento económico, sin forzar la extinción de las especies de interés. Se presenta además una introducción a las problemáticas existentes en las pesquerías, relacionadas con la búsqueda de un equilibrio óptimo entre el rendimiento económico y la supervivencia de las especies, sin la que la práctica de la pesca no tendría cabida.

 

PARA INICIAR LA DESCARGA CLICAR AQUÍ: TFM_2015_Analisis_Matematico