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Archivo para 26/08/09

(5) – Soneto a Galicia

 

Por cien mil chaparrones fuiste criada,

te amamantó tu cielo gris del Norte

y le hacen a la tierra aguada corte,

bajo el sol y las nieblas empreñada.

 

Preñado tú eres útero y ancho valle

que a luz trae el fuerte roble y petirrojos,

creo que está el mismo Dios en esos ojos

y que en tus costas te imprimió su talle.

 

Esperanza de mil embarazadas

albergas por los hijos venideros,

que todo heredarán bajo tu nombre,

 

Galicia, mi gran madre enamorada

del mar, del verde campo y de aguaceros,

de tu matriz de amor saldrán mil prohombres.

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

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El problema de la longitud, relojes de péndulo y Christian Huygens

 

huygens

 

A mediados del siglo XVII (en el año 1648) Holanda obtuvo la independencia de España. Como para el desarrollo industrial y comercial era de vital importancia el desarrollo científico, Holanda se convirtió en un refugio parara intelectuales de las naciones europeas (entre ellos Galileo y Descartes).

Dado que este país se vio liberado del dominio español y en consecuencia dejó de contar con la flota naviera que España poseía, y era una nación pequeña, los actuales Países Bajos agudizaron su ingenio y se vivió un despertar de las ciencias y las artes que la puso a la cabeza de Europa en el desarrollo intelectual. 

Fue la época de pintores como Rembrandt o Vermeer. Ya en el terreno de la filosofía y de la ciencia, podemos reseñar a Spinoza, cuya filosofía panteísta fue alabada por Albert Einstein, un poco más tarde apareció también Leonard Euler, pero en concreto en esa segunda mitad del siglo XVII brilló con luz propia el científico, matemático e inventor Christian Huygens. Huygens fue el padre de la concepción ondulatoria de la luz, observó los planetas con los telescopios que fabricaba -el telescopio es un invento genuinamente holandés- y describió el sistema de anillos de Saturno, y muchas más cosas, pero lo que nos interesa en esta entrada es la invención del reloj de péndulo isócrono basado en la cicloide. 

Como se formaron en aquel entonces rutas comerciales con las Indias Orientales, fundamentalmente para comerciar la seda y las especies, eran necesarias unas cartas de navegación lo más precisas y exactas posibles. Para la cartografía era menester algún sistema que permitiera determinar con precisión la longitud de un punto determinado de la superficie terrestre.

El problema de la latitud se venía resolviendo desde antiguo por mediación del sextante y la altura sobre el horizonte de los astros. Pero para la longitud no había una solución satisfactoria, puesto que los cronómetros que existían eran muy sensibles a las oscilaciones del barco, y así la medida del tiempo era imprecisa.

El fundamento científico de la obtención de la longitud consiste en que si salimos de una localidad con un reloj sincronizado a las 12 del mediodía con el paso del sol por el meridiano local -momento de mayor altura del sol-, si a continuación navegamos, y después determinamos el paso del sol por el nuevo meridiano local atribuyendo a esta medida las 12 del mediodía de la nueva localidad, calculamos la diferencia horaria entre los dos relojes, y establecemeos una sencilla regla de tres que asigna el valor de 360º de diferencia de longitud a una diferencia horaria de 24 horas, 180º a una diferencia horaria de 12 horas, y así sucesivamente, habremos obtenido la diferencia de longitudes entre el meridiano de partida y el meridiano en el que nos hallamos. 

Pero como los cronómetros no eran precisos, no había medidas precisas, y no había cartas fidedignas. Entonces entró en acción Christian Huygens. Inventó el reloj de péndulo isócrono, y lo hizo  así insensible a las posibles oscilaciones de un hipotético barco. Para el diseño del péndulo utilizó un análisis geométrico, obteniendo la misma solución que se obtendría después mediante el cálculo de variaciones -disciplina cosechada por los Bernouilli y por Euler más tarde, ya bajo la influencia del cálculo infinitesimal de Leibniz-. En el cálculo de variaciones se tratan de obtener los parámetros que describen la curva que minimiza o maximiza cierta magnitud hallada por integración en un intervalo espacial o temporal de una función en la que interviene la curva en cuestión. Es un problema normalmente de minimización. Lo que hizo Huygens fue aplicar el resultado de la existencia de aquella curva tal que si es descrita por la lenteja del péndulo el período de la oscilación es independiente de la posición más alta de la lenteja (es decir, independiente de los bamboleos), y además mínimo. La curva que se obtiene con tal cálculo es la cicloide, que tiene tales dos propiedades, por lo que se puede decir que es una curva tautócrona y braquistócrona respectivamente. La cicloide es la curva que describe un punto fijo de una circunferencia al rodar ésta. En otras palabras, si la lenteja comienza desde una posición más alta de lo normal y describe una cicloide, el tiempo de descenso será el mismo, pues al partir desde más arriba se acelera más y compensa así el mayor espacio que debe recorrer. Por otra parte ese tiempo es el mínimo posible dentro de los posibles para diferentes curvas descritas por la lenteja. 

Así, al construir péndulos cuya lenteja describiera una cicloide, se conseguía resolver el problema de la longitud, al hacer su medida independiente de los bamboleos del barco. Para mayor seguridad se montaba el cronómetro sobre una  montura Cardan que amortiguaba en la medida de lo posible las oscilaciones. 

Este es un ejemplo más de la importancia de las matemáticas para el progreso de la técnica, que repercute directamente en el beneficio de la humanidad.

 

Infinitas soluciones de una sucesión numérica (2)

 

La razón de que existan siempre muchas soluciones (infinitas) para seguir una secuencia de números dada y finita, descrita de un modo un poco más técnico, es la siguiente :

Existen infinitas funciones que interpolan los valores de ordenada para cada valor de abscisa. Por ejemplo: podemos encontrar polinomios de infinitos grados diferentes que se adecúen a esos valores dados para cada número de la secuencia.

Sabemos que dado un conjunto de N valores existe uno y sólo uno polinomio de grado menor o igual que N – 1  que pasa por esos N valores, cuyos coeficientes resultan de imponer interpolación exacta para un polinomio de dicho grado en los puntos dato, y de resolver el sistema de ecuaciones lineales correspondiente. La matriz  del sistema es la matriz de Vandermonde de N filas y N columnas.

Como ejemplo, la matriz de Vandermonde (ampliada con el vector b tal que Ax = b, a la derecha de los coeficientes de la matriz) para el ejemplo de la sucesión de la entrada (1) de este hilo, sería de la forma :

 

                  (  1     1      1      1      1      )      (   1   )

                  (  1     2       4      8     16    )     (   2   )

                  (  1      3     9      27     81   )     (   6   )

                  (  1      4     16    64     256  )    ( 42   )

                  (  1     5     25     125    625  )    ( 1806 )

 

Si resolviéramos este sistema obtendríamos uno de los posibles polinomios, en concreto el de grado menor o igual que cuatro, que pasa por los cinco puntos. Las incógnitas serían a0, a1, a2, a3, a4  tales que p(n) = a0 +  a1.n  + a2.n^2  +  a3.n^3  +  a4.n^4.

Pero podemos encontrar a partir del grado N infinitos polinomios de grado superior a ese número que también pasan por esos puntos, con cada vez mayor número de oscilaciones para grados crecientes, dado que para grados mayor que N-1 el sistema de ecuaciones lineales es indeterminado y tiene un Kernel no vacío, con lo cual el vector de coeficientes solución serían una solución particular más suma directa con el Kernel, esto es, una variedad afin.