Infinitas soluciones de una sucesión numérica (2)
La razón de que existan siempre muchas soluciones (infinitas) para seguir una secuencia de números dada y finita, descrita de un modo un poco más técnico, es la siguiente :
Existen infinitas funciones que interpolan los valores de ordenada para cada valor de abscisa. Por ejemplo: podemos encontrar polinomios de infinitos grados diferentes que se adecúen a esos valores dados para cada número de la secuencia.
Sabemos que dado un conjunto de N valores existe uno y sólo uno polinomio de grado menor o igual que N – 1 que pasa por esos N valores, cuyos coeficientes resultan de imponer interpolación exacta para un polinomio de dicho grado en los puntos dato, y de resolver el sistema de ecuaciones lineales correspondiente. La matriz del sistema es la matriz de Vandermonde de N filas y N columnas.
Como ejemplo, la matriz de Vandermonde (ampliada con el vector b tal que Ax = b, a la derecha de los coeficientes de la matriz) para el ejemplo de la sucesión de la entrada (1) de este hilo, sería de la forma :
( 1 1 1 1 1 ) ( 1 )
( 1 2 4 8 16 ) ( 2 )
( 1 3 9 27 81 ) ( 6 )
( 1 4 16 64 256 ) ( 42 )
( 1 5 25 125 625 ) ( 1806 )
Si resolviéramos este sistema obtendríamos uno de los posibles polinomios, en concreto el de grado menor o igual que cuatro, que pasa por los cinco puntos. Las incógnitas serían a0, a1, a2, a3, a4 tales que p(n) = a0 + a1.n + a2.n^2 + a3.n^3 + a4.n^4.
Pero podemos encontrar a partir del grado N infinitos polinomios de grado superior a ese número que también pasan por esos puntos, con cada vez mayor número de oscilaciones para grados crecientes, dado que para grados mayor que N-1 el sistema de ecuaciones lineales es indeterminado y tiene un Kernel no vacío, con lo cual el vector de coeficientes solución serían una solución particular más suma directa con el Kernel, esto es, una variedad afin.
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