Yo también estoy indignado, pero con reservas

 

Copio a continuación el poema “No son tiempos de Pigmalión y Galatea”, perteneciente a mi poemario “El rostro sagrado”, como muestra de solidaridad con los indignados de todo el mundo, pero sólo con aquéllos que han hecho sus reivindicaciones de modo pacífico y sin alteración del orden público. Este movimiento originalmente organizado de manera pacífica dio ejemplo a la sociedad de cómo se puede reclamar un mundo mejor y posible, pero no estoy de acuerdo bajo ningún concepto con el uso de las malas artes para tal fin, por lo que mi adhesión a las formas en las que pueda derivar estará siempre condicionada a los modos de su operativa. Dedicado especialmente al movimiento 15-M en su planteamiento original, no como digo al posible movimiento indignado “indignante”, y con la esperanza de que se logre mejorar la antiética y mala situación que estamos viviendo, ya sea motivada por acciones voluntarias fuera de los cauces legales o por la propia evolución de la economía. Que nadie se de por aludido en particular en las líneas de este poema, es una simple crítica a las irregularidades del sistema establecido, pero sólo a las irregularidades, pues no me cabe ninguna duda de que entre la clase política también habrá gente honrada.

 

“No son tiempos de Pigmalión y Galatea”

 

No son tiempos de Pigmalión y Galatea, no, no lo son,

se libra una batalla sin lanzas ni escudos, la muerte es lenta y dolorosa,

ténlo presente si quieres sobrevivir,

se parapetan los soldados tras las esquinas,

los huesos temblorosos le reclaman al mendigo,

escarba su mísero alimento entre los restos con demasiada frecuencia,

el mariscal dirige a sus desmejorados ejércitos,

los guerreros de la más cruenta lucha que jamás ocurrió, las huestes

de famélicas ancianas, de jóvenes músicos con la mano tendida,

de carismáticos empleados venidos a menos, de heroinómanos desdentados,

de alargados individuos de ochenta libras, de prostitutas moribundas,

avanzan sigilosamente por esta maraña de callejones y parques y cementerios,

no saben donde les espera su mariscal blandiendo la güadaña,

en qué rincón habrán de acatar la orden postrera,

coloca tu linda cabeza sobre esta piedra, aquí en el cadalso,

el verdugo no se apiada de ellos,

y mientras tanto señores de alto linaje se pavonean y se sonríen, organizan bailes,

el verdadero baile lo tenemos ahí afuera,

los ministros se ufanan de dirigir la contienda, adquieren relojes,

los verdaderos relojes están en las vísceras, hay muchos por ahí a precio de saldo,

se vende un riñón a buen precio, necesito seguir viviendo,

los importantes presidentes viajan y se reúnen y deciden, no es fácil, claro,

merman los ejércitos cada segundo que fluye, la batalla no tiene fin,

y los oficiales se entregan a sus cotidianos quehaceres,

se tratan con refinada diplomacia,

se dicen bellas palabras con retorcidas intenciones,

las arcas de algunos engordan sospechosamente,

los soldados del mundo agonizan mientras tanto,

en esta batalla universal de la vida y la muerte,

mas una cosa sé cierta, la tengo bastante clara,

ese tumulto de oficiales trajeados con sus galones bien a la vista,

de presidentes desmemoriados según a qué hora,

de ministros sin escrúpulos, ellos, ellos son el

verdadero ejército de pordioseros,

la verdadera miseria humana anida en sus abyectas miradas,

están ya podridas sus gastadas palabras.

 

 © El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

Visita al Museo Nacional de Ciencias Naturales: (4).- La sala Mediterráneo

 

 

En este apartado dedicado a mi visita al Museo Nacional de Ciencias Naturales, ubicado en Madrid, expondré algunas fotografías que he tomado allí en la sala Mediterráneo, que es el lugar donde se exhiben dioramas con animales disecados o conservados en formol representativos de la fauna ibérica. Así en la primera fotografía aparecen dos águilas imperiales, especie de la familia Accipitridae en grave peligro de extinción, que tienen preferencias por biotopos con arbolado, frente a sus primas las águilas reales, que suelen habitar terrenos montañosos, y que además de eso, por no ser tan eclécticas como aquéllas en la alimentación, pues preferentemente sus hábitos alimenticios se cubren con la caza de conejos -ya muy escasos en libertad en la península- han visto como sus efectivos se han reducido hasta el punto de ser una especie casi al borde de la extinción.

 

 

En la anterior fotografía se pueden apreciar unos representantes de una especie de la familia de los córvidos, más concretamente las carracas, dentro de su familia las de mayor belleza en la librea, y que reciben su nombre como onomatopeya del sonido que producen.

 

 

Esta imagen representa algunos ejemplares de especies de lepidópteros que o bien aparecen aquí en la península ibérica esporádicamente o que bien están perfectamente adaptados y la habitan en toda su etapa vital. En la fila superior las dos de la izquierda son las especies Papilio Machaon e Iphiclides Podalirius, de la familia Papilionidae. A su derecha hay una Artogeia Rapae, de la familia Pieridae, y también de esta misma familia, a su derecha, el macho seguido de la hembra de la mariposa Gonepteryx Cleopatra. En la segunda fila se pueden ver en la posición más a la izquierda a una mariposa monarca (Danais Plexippus), que entra dentro de las que se pueden observar muy raramente aquí, sólo como divagante; en el tercer lugar empezando por la izquierda aparece una Charaxes Jassius, que existe en las islas Baleares y en algunos enclaves peninsulares litorales, que es conocida como mariposa del madroño vulgarmente, y que pertenece a la familia Nymphalidae. Inmediatamente a su derecha se observa una Vanessa Atalanta, también de la familia Nymphalidae. En la fila tercera se exhiben algunos especímenes englobables en la familia de los Satíridos, y finalmente en la última fila se hace otro tanto con la familia Lycaenidae.

 

 

En la anterior fotografía se representa a un ejemplar joven de macho montés, especie de bóvido del género Capra que habita los territorios montañosos de los Pirineos y otras cordilleras ibéricas.

 

 

El lince ibérico (Lynx Pardinus) está en serio peligro de desaparición, es una de las especies más amenazadas dentro de España y Portugal. Las causas de la merma de esta especie han sido fundamentalmente la desaparición de su presa por antonomasia (el conejo) por las plagas de mixomatosis, los atropellos en carreteras, así como la caida en trampas destinadas a otros animales.

 

 

El halcón peregrino (Falco Peregrinus) es un ave de la familia de los Falcónidos, o halcones, que consigue picados de hasta 300 km/hora a la hora de cazar a sus presas. Es el ave que alcanza mayor velocidad en vuelo.

 

 

Las avutardas son unas aves genuinamente esteparias que en la península pueden contemplarse en Castilla-León y otras regiones, que pertenecen a la misma familia de los sisones (familia Otididae), y que hacen sus nidos directamente en el suelo.

 

 

Los rebecos (Rupicabra Rupicabra) son unos mamíferos ungulados que habitan terrenos montañosos y que presentan una clara diferencia con las cabras montesas y otras especies de la misma familia.

 

 

Las grullas (Grus Grus) pertenecen a la familia de los Gruídos, y se alimentan de semillas e insectos. Son aves migratorias que se desplazan grandes distancias para acudir a climas más benignos donde criar. Presentan en la época de cortejo un llamativo ritual con pavoneos y sonidos semejantes a los de trompetas, que se escuchan muy lejos de donde se hallan.

 

 

La anterior fotografía exhibe un diorama de una lobera con ambos consortes y sus lobeznos. El lobo (Canis Lupus) es otra de las especies más amenazadas en la Península, en este caso su costumbre de atacar rebaños de ganado doméstico para alimentarse ha sido el detonante para su persecución indiscriminada, que lo ha situado al borde la extinción.

 

 

El pato cuchara (Anas clypeata), que pertenece a la familia de las Anátidas, es un ave con una clara adaptación evolutiva para su alimentación. Al igual que otros ánades como el ánade real (Anas Plathyrynchos) o la cerceta común (Anas crecca), englobados en la clasificación de patos de superficie, se alimenta sin zambullirse o en último caso basculando su cuerpo pero no sumergiéndose. En su pico existen dos hileras de membranas a modo de tamices que filtran el agua posteriormente a su absorción en superficie con un llamativo movimiento de barrido superficial, quedándose la materia alimenticia dentro de su boca para ser así tragada. Es decir, su pico es una perfecta criba, que deja pasar el agua pero no el pláncton, los insectos y las semillas de los que se nutre. Es un ave migradora. En España es muy habitual en la invernada en lagunas de interior.

 

 

En la anterior fotografía aparece una familia de tejones (Meles Meles), que son unos mustélidos -misma familia de la marta, la garduña y la gineta- que habitan preferentemente en zonas de bosque próximas a praderas y laderas de montañas. Se alimentan de lombrices, frutos e insectos.

 

 

El búho real (Bubo bubo), que también posee como la carraca un nombre onomatopéyico, y cuyo canto es inconfundible en las noches, distinguiéndose claramente del de otras rapaces nocturnas como el cárabo o el autillo simplemente por sus emisiones sonoras, es la mayor de las aves de presa nocturnas en la península ibérica y aunque está muy extendido, prefiere los bosques y los acantilados para anidar.

 

 

En la fotografía precedente se aprecia una pareja de águilas reales, que prefieren las montañas frente a los bosques para su ciclo vital, y que no están tan amenazadas como las águilas imperiales, por ser menos específicas en su alimentación.

 

 

La anterior fotografía exhibe entre otras a tres especies orníticas genuinamente marinas, la de arriba a la derecha es el frailecillo, poseedor de un llamativo pico coloreado, el ave de abajo a la derecha es un cormorán (del género Phalacrocorax), y el ave de abajo a la izquierda, de píleo amarillento, es un alcatraz, que puede recorrer grandes distancias en vuelo sobre el mar.

 

 

Para ya finalizar, en la última de las fotografías de esta entrega, se aprecia un calamar gigante, del género Architeuthis, y de la familia de los cefalópodos, una especie muy raramente vista por el hombre, y en torno a la cual giran muchas leyendas que le llegan a atribuir tamaños descomunales. Habita a grandes profundidades marinas, donde apenas penetra la luz solar, y eso explica el que haya pasado desapercibido como especie para la Ciencia hasta hace relativamente poco tiempo.

Esto es todo de momento. El siguiente y último reportaje de este especial dedicado al Museo de Ciencias Naturales girará en torno a la figura del eminente naturalista y político español Mariano Graells.

 

Los radiofaros Consol (Elektra-Sonne) – (11.1) El sistema radiante. Nociones básicas

 

Dedicaré un pequeño conjunto de subsecciones dentro del tema de los radiofaros Consol para introducir algunos conceptos básicos dentro del electromagnetismo, que después usaré cuando hable de las antenas del mencionado sistema de posicionamiento. Ésta no es sino la introducción dentro de este grupo de subsecciones.

Existen muchos tipos diferentes de antenas, pero básicamente se pueden reducir a dos tipos, en concreto, antenas lineales, y antenas de apertura. Y digo sólo estos dos tipos, porque en general existen muchas antenas, como por ejemplo los mástiles radiantes de la estación Consol, que pueden ser puestos en equivalencia con antenas lineales, dado que están constituidas por tramos de acero, y la dimensión física de su grosor es mucho menor que la longitud de onda, y no ocasiona una pérdida de generalidad el considerar como antenas lineales otros tipos de radiadores de mayor longitud, siempre que estén confeccionados con elementos lineales, o inclusive agrupamientos o arrays formados por conjuntos de antenas en interacción, del que es un ejemplo la tan conocida y clásica antena Uda-Yagi, usada en recepción de televisión. De este modo, no sólo son antenas lineales los clásicos dipolos, monopolos, y monopolos sobre masa –caso éste último al que pertenecen los mástiles radiantes Consol-, sino que también son antenas lineales las espiras usadas en los radiogoniómetros, las antenas rómbicas y espirales –adaptadas éstas últimas especialmente a las polarizaciones elípticas-, las espirales cónicas, los dipolos doblados, los solenoides cargados con ferrita, usados desde los comienzos de la transmisión en onda media en receptores de radiodifusión, e incluso se pueden catalogar como antenas lineales algunas de las empleadas en banda ancha, que utilizan por ejemplo una distribución logarítmica en la distancia entre elementos, antenas multibanda con distintas longitudes de los elementos y también con distancias específicas entre ellos, antenas logoperiódicas trapezoidales, usadas como alimentadores (feeders) de antenas parabólicas grandes, y un largo etcétera, en el que podemos incluir como caso llamativo las antenas con geometría fractal, como el monopolo de Sierpinski –también pensado para banda ancha-. De este modo una antena lineal es un radiador que se puede aproximar por un conjunto de líneas construidas de un material buen conductor de la corriente eléctrica, en un punto de las cuales se suministra la corriente impresa o de excitación, y que presentan una determinada geometría que condiciona ya de por sí todas sus características de transmisión-recepción.

Por otra parte, se denominan antenas de apertura a aquellos radiadores en los cuales el campo electromagnético radiado se puede calcular como una integral extendida a una cierta superficie y obtenida en base a la distribución de campo eléctrico de excitación en dicha superficie. Casos de éstas antenas son las conocidas parabólicas, tanto si las alimentamos desde el foco de la parábola; como también en la variedad Cassegrain, en la que se usa un subreflector montado en el foco de la parábola, estando el feeder en el centro de la misma y orientado al subreflector. Otros casos de antenas de apertura son las antenas de lente, o las llamadas bocinas, que no son más que precisamente aberturas con forma de embudo que dan solución de continuidad al campo eléctrico que viaja por la guía de onda y que sale por ellas al aire. Y también se usan antenas de tipo micro-strip para frecuencias de microondas.

Es decir, existe una gran variedad de antenas, cada caso particular se emplea para ciertas utilidades concretas. En otras subsecciones explicaré lo que es el diagrama de radiación, la ganancia y directividad de una antena, el ancho de banda de la misma, el ancho de haz, la resistencia de radiación, la impedancia de entrada, y la polarización. Ante un determinado caso de diseño, se trata de determinar la geometría y dimensiones de la antena para que sus parámetros característicos se aproximen a los que se necesitan para la correspondiente situación particular de transmisión-recepción.

En cálculo de antenas, a partir de las ecuaciones de Maxwell, se puede definir una magnitud de la que deriva el campo magnético radiado, que es el potencial vector. Aplicando ciertas buenas aproximaciones se obtiene, por un lado, que el fasor de campo magnético se puede poner como el rotacional del potencial vector, mientras que el fasor del campo eléctrico, en una radiación monocromática (si se excita una única frecuencia o tono de portadora) se obtiene como la pulsación multiplicada por el potencial vector y con un factor que incluye la unidad imaginaria cambiada de signo. Esto es, si somos capaces de obtener una expresión para el potencial vector A en una cierta posición alejada de la antena, seremos capaces de conocer los fasores de campo magnético y eléctrico de la onda en ese lugar.

¿Qué es un fasor?. Un fasor es un vector complejo de una o más dimensiones, tal que multiplicándolo por una exponencial compleja de pulsación w y obteniendo la parte real de dicho producto, se consigue la función temporal o señal de una cierta magnitud eléctrica, que podría ser por ejemplo una señal de corriente, un voltaje o señal de tensión, o también la expresión instantánea del campo eléctrico o del campo magnético. Es decir, podemos pensar en un fasor para cada señal que estudiemos, el campo eléctrico instantáneo llevará un fasor asociado, el campo magnético tendrá asociado otro fasor, la corriente por ejemplo de un circuito también se puede escribir en forma fasorial, etcétera… Pero los fasores tienen la limitación de que sólo se pueden emplear para pulsaciones monocromáticas, esto es, sólo podríamos usar los fasores cuando trabajamos con una única frecuencia, que sería la portadora. El caso general de una transmisión pasobanda, más aproximada a la realidad, y que es el caso más genérico posible, precisa del empleo de otro concepto matemático más sofisticado como es la envolvente compleja, que no es otra cosa que una función compleja temporal formada por un módulo dependiente del tiempo multiplicando a un factor de fase también dependiente del tiempo. Si multiplicamos esta envolvente compleja por una exponencial compleja de pulsación w (correspondiente a la frecuencia de portadora de w/(2*pi) ), y tomamos la parte real, estaremos en realidad obteniendo la variación temporal instantánea de una determinada magnitud bajo estudio, que al igual que en el caso del uso de fasores puede ser un campo, una corriente, o una tensión, pero que en este caso particular presenta la propiedad de no ser una frecuencia pura, sino el conjunto de muchas frecuencias puras actuando a la vez, y ocupando un cierto ancho de banda. Multiplicar un fasor o una envolvente compleja por una exponencial compleja de una cierta pulsación equivale a girarlo en el plano complejo con una velocidad de giro o rotación igual a la pulsación, medida en radianes por segundo.

En general, y como remate de este primer acercamiento a las antenas y al electromagnetismo, el potencial vector que necesitamos para conocer cómo funciona una antena se halla según una expresión como la que sigue:

 

 

 

En esta expresión el vector A es el potencial vector, el valor nu es la permeabilidad magnética, el vector J es la distribución sobre la superficie de la antena del fasor de la densidad de corriente, k es la constante de propagación, y R es la distancia entre el punto concreto de la antena cuyo aporte estamos considerando y el lugar donde se quiere calcular el potencial vector. El valor dv’ es el elemento diferencial de volumen por el que fluye la densidad de corriente y V’ es todo el volumen por el que circula la corriente en la antena. Así pues, esta ecuación lo que viene a expresar, es que el potencial vector es una combinación lineal formada con coeficientes complejos que multiplican a los vectores densidad de corriente de cada posición de la antena, que equivale a la suma de los elementos de potencial vector, y que se hallan por un escalado complejo del producto de la densidad de corriente impresa y el inverso de la distancia. La exponencial compleja que forma parte de los coeficientes de escalado es un término de fase que expresa la tardanza en producirse los efectos (campos electromagnéticos) en el punto de cálculo, posteriormente en el tiempo a las causas, que fueron las corrientes impresas de la antena, y que tardaron un cierto tiempo en propagarse.

En la siguiente subsección de este hilo trataré el caso particular de la radiación del dipolo elemental y de otros tipos de dipolos más largos.

 

Modelos matemáticos en la demografía de las especies

 

 

Coincidiendo prácticamente con los comienzos del siglo XX se vio nacer una nueva disciplina científica, la biología matemática, ciencia en la cual se ha tratado y se trata de aúnar el conocimiento propio de ambas ramas, con el objeto de establecer modelos que expliquen lo más finamente posible la realidad de la vida. Tanto los físicos como los matemáticos vieron en la biología una serie abrumadora de fenómenos que eran tratables con el lenguaje abstracto de la matemática.

Mucho antes del siglo pasado, a finales del siglo XVIII, el conocido economista Thomas Malthus, que fue posteriormente una fuente de inspiración para el biólogo Charles Darwin, estudió el crecimiento demográfico de las poblaciones y advirtió que si la naturaleza no proveía de algún sistema de control de la población, la vida en nuestro planeta sucumbiría. Precisamente fue ahí donde entró Darwin más tarde identificando a la selección natural como el mecanismo regulador que en cierto modo limita las poblaciones vivas. El razonamiento de Malthus era en cierto modo sencillo pero totalmente lógico, aunque también con limitación de miras. Dada una especie animal que se alimenta de otra especie vegetal, pongamos por caso el ratón y el trigo, se verifica que la cantidad de trigo que se puede producir en cada temporada en un cierto terreno crece aritméticamente con el paso de las generaciones, dado que la superficie de terreno es siempre la misma. Esto es, en la primera generación se producirá por ejemplo x metros cúbicos de trigo. Tras la segunda generación habrá x + x = 2x metros cúbicos de trigo, y en general tras n generaciones habrá nx metros cúbicos de trigo, todo ésto abstrayéndonos de la presencia humana, esto es, suponiendo que no hay consumo del trigo por ningún otro ser que fueran los ratones. Sin embargo la población de ratones en ese escenario hipotético no crece aritméticamente sino exponencialmente, puesto que se puede suponer, simplificando las cosas, que un individuo típico aporta en la unidad de tiempo una cierta cantidad de ratones r a la población (número que puede ser fraccionario, y que representa el valor medio de lo aportado en la unidad de tiempo per cápita), cuyo valor se identificaría con la tasa de natalidad. Ésta ecuación diferencial tiene como solución una función exponencial del tiempo, en la que participa el parámetro r. Así pues, aunque la cantidad de trigo que se poseería en una generación sería grande, la población de ratones crecería mucho más rápido, con lo cual en un principio, si aislamos del resto del planeta estas dos especies, llegaría un momento en que se agotaría el alimento y ambas especies dejarían de existir.

Ahora bien, este tipo de crecimiento demográfico exponencial, que también se conoce como malthusiano, es en realidad una aproximación grotesca de la realidad, independientemente de que el mundo no está formado sólo por dos especies vivas. En realidad existe un límite al crecimiento demográfico de una especie, que viene dado por las limitaciones de espacio o nutrientes o por la presencia de otros predadores, y ese límite es conocido como capacidad de carga o de soporte de la especie. En términos matemáticos diríamos que el crecimiento malthusiano viene dado por una ecuación diferencial de la forma y’ = k.y, esto es la tasa de cambio de la especie es proporcional a la cantidad de miembros que tiene esa especie en ese momento, y cuya solución es una función exponencial del tiempo. Pero el crecimiento real, cuyo estudio fue acometido por Pierre Francois Verhulst, se modela según otra ecuación diferencial de la forma y’ = k.y.(C-y), donde la constante C es la capacidad de carga o valor límite de la población. Esta ecuación expresa que la tasa de cambio es no sólo proporcional a la cantidad de individuos, sino que es menor también cuanto más próxima sea esa cantidad de individuos a la capacidad de carga, porque cada vez hay menos espacio o nutrientes para ellos o porque otra especie predadora los limita numéricamente. La solución de esta ecuación diferencial es la denominada ecuación o ley logística, que se rige por la expresión y = Cy0 / (y0 + (C-y0)exp(-kt)), donde el valor y0 es la cantidad de individuos en el instante inicial.

Pero, como es lógico, no tiene sentido aislar dos especies apartándolas del resto del mundo, puesto que éste presenta relaciones recíprocas entre todas las especies, sean de una naturaleza o de otra.

Ya en el siglo XX entraron en escena dos matemáticos para mejorar los estudios de Malthus y de Verlhust, y éstos fueron Vito Volterra y Alfred Lotka, aportando dos modelos que explican mucho mejor las interacciones de pares de especies predador-presa o bien predador-predador competidor. Históricamente para ejemplificar estos modelos se utilizan en el caso del modelo predador-presa a la relación entre lobos y conejos. Si las poblaciones de lobos y conejos estuviesen aisladas los lobos no podrían alimentarse de los conejos, con lo cual la población de lobos decrecería según una ecuación x’ = -l.x, que es de tipo malthusiano. Por otra parte los conejos seguirían una tasa de crecimiento también malthusiana pero de signo contrario, esto es : y’ = c.y. En estas dos ecuaciones los valores l y c son respectivamente las tasas de muerte y de natalidad de lobos y conejos.

Sin embargo, si ambas especies, lobos y conejos, coexisten en un determinado biotopo, estas ecuaciones no serán válidas, porque ambas especies interactuarán entre sí, y de este modo, podemos decir que, debido al encuentro entre predadores y presas, a la anterior tasa de crecimiento de lobos habremos de sumar un término debido al hecho de que ciertos lobos cacen ciertos conejos, y que será mayor cuanto más lobos y conejos haya, puesto que en esa situación más fácil será que se encuentren entre sí, y además el signo de este término será positivo, dado que significará que los lobos aumentan su cantidad por el hecho de encontrarse con conejos que capturan, por lo que pueden seguir viviendo y reproduciéndose. Así pues, la tasa de crecimiento de los lobos quedará x’ = -l.x + r.x.y, siendo r un parámetro de la ecuación, como también lo era l, y que en este caso representa la facilidad con que los lobos cazan los conejos y su repercusión en la mayor reproducción consecuente. De esta forma, la especie predadora de este caso, la lobuna especie, en vez de extinguirse tendrá al menos posibilidad de tener cierto crecimiento. Por otra parte, para el caso de la tasa de crecimiento de los conejos, y por el mismo motivo que el que causó el anterior término r.x.y, habrá de restarse al crecimiento malthusiano original de los conejos un término que será proporcional a la facilidad de encontrarse lobos y conejos y que tendrá signo negativo, de modo que la segunda ecuación diferencial será de la forma y’ = c.y – s.x.y. Estas dos ecuaciones diferenciales, dependientes de los parámetros l, r, c y s, son dos ecuaciones diferenciales que están acopladas, y si resolvemos este sistema obtenemos una cantidad oscilante de lobos y conejos, de manera que si representamos en el plano XY, para el eje de abscisas la cantidad de conejos y para el eje de ordenadas la cantidad de lobos aparecerán las “curvas isoparamétricas” a las que tienden la evolución de predadores y de presas, y que en este caso tienen la forma de curvas cerradas con “radios” diferentes y que tienen su punto “central” en la situación de equilibrio ideal que correspondería a la no variación ni de la cantidad de presas ni de predadores. Al variar los parámetros obtenemos distintos ciclos cerrados en dicho plano conejos-lobos, y la evolución temporal de ambas especies sigue una de esas curvas. Los parámetros para cada modelización particular habrán de ser obtenidos por métodos empírico-estadísticos, pero en general se puede decir, de modo intuitivo, que el número de predadores aumentará si disponen de gran cantidad de presas, pero al irse consumiendo éstas el número de predadores disminuirá, con lo cual aquéllas aumentarán su número, aumentando de nuevo el de predadores. La solución es, pues, cíclica, salvo que estemos en una condición de equilibrio en el ecosistema para todas las generaciones, la cual es improbable. Es decir, existen curvas isoparamétricas para cada sistema de ecuaciones diferencial, en las que yacerían las series de valores temporales, también llamadas órbitas, de todas las variables involucradas. Y esto no sólo se aplica a las ecuaciones de Lotka-Volterra de predador-presa sino a cualquier modelo no lineal en el que intervengan ecuaciones diferenciales no lineales. Un ejemplo de esto es el modelo climático de Lorentz, desarrollado en el siglo XX. Para elaborar este modelo, Lorentz estableció, en su forma o versión simplificada, las tres ecuaciones diferenciales que fijan la tasa de cambio de cada de las tres variables de posición de una molécula en un fluido (por ejemplo una molécula de de agua en la atmósfera). Y se ayudó de algunos parámetros. La solución del sistema diferencial de tres ecuaciones de Lorentz da lugar a una órbita que tiende a un atractor, que se denomina “el atractor extraño de Lorentz” y que tiene forma de ochos acostados enlazados cada uno con el siguiente.

Pero Lotka y Volterra desarrollaron además otro par de ecuaciones diferenciales que dan lugar al modelo de competencia entre especies de un mismo biotopo. Este modelo se aplica a dos especies que compiten por un recurso o presa común, y en las que aparece crecimiento logístico, y ese crecimiento ha de ser forzosamente logístico porque los recursos por los que compiten ambas especies son limitados. Las ecuaciones diferenciales son gemelas para cada uno de los competidores y tienen la forma : x’ = k.x.((C-x-r.y)/C), siendo k la constante de crecimiento malthusiano, C la capacidad de carga para la expecie x y r un factor que establece la interacción con la especie competidora. Habría una ecuación diferencial análoga para la otra especie, con parámetros análogos pero con otro nombre, y de la resolución de ambas ecuaciones obtendríamos unas órbitas en el plano XY sobre las que yacerían las series temporales de ambas especies.

Todo lo que aquí se ha descrito para dos especies puede ser ampliado para un número mayor de especies y así se construirían modelos aplicables a ecosistemas simplificados con un número limitado de especies que darían lugar, en el espacio de tantas dimensiones como distintos tipos de seres interactuando, a distintas órbitas donde se situaría la evolución en el espacio de fase de las series temporales de todas las especies.

En cuanto a la resolución de los sistemas de ecuaciones diferenciales que modelan a la naturaleza, existen básicamente dos formas de acometerla de acuerdo con las herramientas de que nos provee la matemática. Una de ellas es la disciplina de resolución de ecuaciones diferenciales y la otra es el análisis numérico. La primera de las dos emplea métodos concretos de cálculo para transformar cada ecuación y/o para resolverlas analíticamente. La segunda herramienta son los métodos numéricos basados en diferencias finitas o en diferencias divididas y que aproximan las derivadas por diferencias escaladas entre valores próximos de cada variable, y mediante el cálculo por computadora se obtienen directamente las series temporales. Ejemplos de este tipo de cálculo serían los métodos de Runge-Kutta y de Euler.

En la imagen superior se representan las curvas isoparamétricas de la solución del modelo predador-presa y en la imagen inferior se representa el atractor extraño de Lorentz.

 

 

El cifrado César y la aritmética modular

 

 

 

Desde la antigüedad se cultivaron los métodos de cifrado y descifrado de mensajes, ya que era de vital importancia que algunas informaciones relevantes llegaran a manos de un destinatario del mismo bando, sobre todo en épocas de guerra, cuando el líder de las tropas necesitaba comunicarse mediante un mensajero con cada uno de los corresponsales de los diversos destacamentos. Así pues, era preciso un convenio para el cifrado y después para el descifrado. Los mensajes podían cifrarse por sustitución –sustituyendo cada letra original por otra letra o símbolo que le correspondía-, o bien por trasposición. El cifrado por trasposición consistía en alterar el orden de las letras del mensaje. Ya en la antigüedad clásica se usaba la escítala, que no era otra cosa que una vara de cierto diámetro convenido entre emisor y receptor. Se enrollaba una tira de papel alrededor de la escítala y se escribía el mensaje sobre líneas consecutivas en el papel enrollado. Cuando se desenrollaba dicho papel aparecía un galimatías de letras –las letras del mensaje-, en el cual el orden de las letras había sido totalmente violado. Pero cuando este papel era vuelto a enrollar en una vara de idéntico diámetro aparecía el mensaje perfectamente legible.

Por lo que se refiere a los métodos de sustitución, existe constancia de que uno de los primeros algoritmos de sustitución fue el cifrado de Polibio, aunque aproximadamente 50 años después, el propio Julio César hacía uso de uno bastante simple, que pasó a ser llamado cifrado César. Este cifrado consiste en establecer una clave común a emisor y receptor, que era un número, y dada una letra a cifrar se desplazaban en el alfabeto tantas posiciones como indicaba el número y se tomaba la letra de esa posición final como carácter cifrado. Para el descifrado podía usarse un rectángulo de cartón en el que estuviesen en orden las letras del alfabeto, por debajo de las cuales se podía deslizar una tira con dos alfabetos consecutivos, y así al mover la tira inferior una cantidad de caracteres igual al número clave, se ponían en correspondencia el alfabeto sin cifrar con el cifrado.

Entre el cifrado César y la aritmética modular –o “aritmética del reloj”- hay una correspondencia clara. La aritmética modular, que es una de las bases del actual sistema de encriptación Rivest-Shamir-Adellman (RSA) utilizado para cifrar y firmar digitalmente la información privada en las comunicaciones de Internet, se basa en atribuir la equivalencia entre un número menor que el tope numérico que consideremos al resultado de efectuar cualquier número entero de pasadas al ciclo que va desde 1 hasta el tope (que en un reloj sería el número 12) más los avances hacia el número considerado. Por ejemplo, podemos decir que las 4 horas equivalen a las 16 horas o a las 28 horas, si damos respectivamente 1 y 2 vueltas al reloj y contamos 4 unidades más. La arimética modular viene a darnos equivalencias basadas en un ciclo que se repite y que es rebasado en la última vuelta la misma cantidad de posiciones que las del carácter a cifrar. Escrito matemáticamente, de una forma rigurosa, se dice que 16 es congruente con 4 en módulo 12, o que 28 es también congruente con 4 en módulo 12. Esta misma forma de razonar la podemos emplear con medidas angulares, diciendo por ejemplo que 380 es congruente con 20 en módulo 360.

De esta manera el cifrado César se puede expresar mediante una fórmula matemática del siguiente modo. Si llamamos C(x) al ordinal de la letra cifrada y a x el ordinal de la letra sin cifrar, y si consideramos una aritmética modular módulo 27 (el número de letras del alfabeto), se puede escribir :

C(x) = (x + k) (módulo 27), donde k es la clave empleada.

Por ejemplo, si la clave es 3, el carácter de ordinal 4, que sería la letra E (se empieza a contar con 0 para el primer carácter) quedará cifrado mediante el carácter de ordinal 7, que sería la letra H. Pero la clave k puede ser todo lo grande que queramos. Así, por ejemplo, si k es igual a 58, el carácter de ordinal 4 (letra E) sería cifrado por el carácter de ordinal 4 + 58 (módulo 27), que es el ordinal 8 (letra I).

Para el desciframiento también podemos usar una fórmula, que sería de la forma O(c) = (c – k) (módulo 27). Ésta sería la fórmula inversa a la anterior, que nos permitiría conocer el ordinal del carácter original a partir del cifrado c.

En principio el cifrado César no sería difícil de romper, si nos basamos en análisis de frecuencia, pero podríamos complicarlo algo más si utilizamos el conocido como cifrado afín, que responde a la fórmula :

C(x) = (ax + b) (módulo 27), siendo a y b dos números menores que el número de caracteres del alfabeto. Para que un carácter fuese cifrable unívocamente mediante este esquema, sería preciso que el mcd(a, b) fuese 1, esto es, que a y b fuesen coprimos.

¿Por qué es más potente el cifrado afín que el cifrado César original?. Pues la razón estriba en que ahora hay dos claves para el cifrado, que son los números a y b, mientras que antes sólo había 1 número clave (k). El número de claves distintas para el cifrado afín será igual a la cantidad de 26 x 26 para un alfabeto de 27 letras, mientras que el número de claves para el cifrado César sería sólo de 26. Es decir, hay una notoria mejoría a favor del cifrador, puesto que existen más claves potenciales con las cuales practicaría un hipotético interceptor del mensaje hasta dar con el mensaje descifrado siguiendo la filosofía afin. Aún así, ninguna de las dos formas de encriptación es invulnerable, basta con emplear fuerza bruta para romperlas.

En la imagen superior se observa una representación de la forma de cifrado por trasposición mediante escítala. En la imagen inferior, un busto de Julio César.

 

  

(16)- El libro sagrado

 

Los bólidos encienden los trazos

de la Sublime Escritora, ¿ves su luz allí?.

No es el carmesí del poniente,

el rubescente color de la doncella

que se asoma a su penumbrosa galería,

ahora miríadas de astros nos contemplan,

miríadas de luces de millones de siglos,

la doncella duerme mientras los grillos

nocturnos invocan a sus lejanas deidades.

No es el carmesí del poniente,

es la lágrima instantánea la que consideras.

La lágrima de la que ahora sueña.

La estrella fugaz de un noble sentimiento.

Testigos de las eras enmudecidos nos examinan

desde las ignotas e incomprendidas bóvedas.

Ahora observa el lento planeta errante.

Sus epiciclos fueron descritos por los

siete sabios del Mundo Antiguo,

pero más de eso no fue penetrado

su opaco e inmemorial misterio.

Lo efímero y lo eterno comulgan

de la antigua idea del Cosmos.

Hay tanta majestad en lo infinito

de los magníficos Cielos.

Pulsan lejanos y desconocidos cuerpos,

y sus minúsculos y despreciables ecos

atraviesan los espacios abarcando

nuestras insomnes pupilas,

reverberan las llamaradas de fuego

que se cuecen en los hornos estelares

e impertérritos las percibimos sin inmutarnos.

La leche de la doncella, la leche de Era

cruza el vasto dominio de las esferas,

guió a los marinos y mercaderes errabundos

en sus mundanos comercios y aún ahora

la vemos amamantando a sus retoños.

Cuenta con tu mecanismo los segundos,

segundos pasados serán, ni siquiera te

proveerán de más sabiduría,

La infinitud mantiene su viejo libro a buen recaudo,

el viejo libro de innúmero volumen

donde el Universo se describe sin prisa a sí mismo,

el libro de inacabables poemas de amor,

donde la anciana y sabia doncella se festeja,

recreándose en cada insignificante línea,

el amor a sí misma la obnubila.

Y guía el curso de los acontecimientos

a su más libre antojo.

¿Qué sabrá esa caprichosa chiquilla

de lo bueno y de lo malo?.

Sólo se asegura de escribir en ciclos,

pues pretende un manuscrito

sin justicia ni pasión, sin principio ni final,

es el libro sagrado de la Anciana Escritora.

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

Visita al Museo Nacional de Ciencias Naturales: (3).- El Real Gabinete

 

Continúo la serie de artículos dedicados al Museo Nacional de Ciencias Naturales exponiendo unas cuantas fotos que he tomado en el Real Gabinete, comenzando con una fotografía de varios ánades rabudos, que son aves pertenecientes a la familia de las anátidas.

 

 

 

El críalo es una ave que habita en la parte meridional de España, y que al igual que el cuco, tiene hábitos nidoparásitos, esto es, el huevo es puesto en el nido de otra ave, y es criado por los verdaderos inquilinos del nido. De ahí le viene el nombre.

 

 

 

Los abejarucos, a los que ya dediqué un apartado en esta web, tienen costumbres gregarias y habitan en colonias ubicadas en taludes arenosos, a la orilla de carreteras o en los ríos. Son unas aves de especial vistosidad y colorido.

 

 

 

Los mórfidos es una familia de lepidópteros que habitan zonas selváticas y que se distinguen con mucha facilidad por ser de distintas tonalidades de azul, que además tienen más o menos brillo dependiendo del ángulo con que los observemos.

 

 

A continuación, dos tomas de las vitrinas del Real Gabinete desde dos puntos diferentes.

 

 

 

También los coleópteros tienen un hueco en esta parte del museo, y la siguiente imagen lo atestigüa.

 

 

Y paso de nuevo a las aves: lo que sigue es un diorama que refleja un nido de gallineta común, con ambos consortes próximos a los huevos.

 

 

 

El torcecuello es un pájaro bien curioso. Tiene costumbres que lo podrían emparentar con los pájaros carpinteros, por el hecho de que suele anidar en cavidades, las cuales ya estaban construidas de antes. Tiene una lengua larga al igual que el pito real, y de la que se aprovecha como aquél para conseguir las hormigas de los hormigueros que sondea. El nombre de torcecuello viene dado por la costumbre que tiene de girar el cuello en un ángulo prácticamente imposible para cualquier otra especie ornítica, acompañando estos movimientos del cuello en forma de espasmos con un erizado del plumaje del píleo. Se ha demostrado que detrás de este hábito existe una adaptación biológica que le da la capacidad de espantar a sus depredadores naturales, de hecho la combinación del cuello torcido mediante movimientos bruscos, de embestidas con el pico, del píleo erizado y del colorido de su plumaje lo hacen parecerse a una culebra en acción de ataque.

 

 

Las dos fotos siguientes representan a una pareja de escribanos soteños (la primera) y un diorama con el nido de dos mirlos (la segunda). Obsérvese que la hembra, la que empolla los huevos, es de una tonalidad que tira más a marrón oscuro, mientras que el macho tiene librea negra.

 

 

 

 

Las tres fotos siguientes son cajas entomológicas con distintas especies de mariposas tropicales, a excepción de la tercera, que representa al lepidóptero Graellsia Isabellae, descubierto aquí en España por el científico Graells.

 

 

 

Para ya finalizar, la última fotografía se corresponde con un lobo marsupial, una especie que ya está extinguida en el mundo.

 

 

Cinco tumbas al Cairo

  

 

Una de mis películas favoritas entre aquéllas cuya temática gira en torno al desarrollo de la Segunda Guerra Mundial, es sin duda “Cinco tumbas al Cairo” (Five graves to Cairo), película dirigida por Billy Wilder en el año 1943, con un emocionante argumento basado precisamente en un guión del propio Wilder.

Al principio de la película, un tanque de las tropas inglesas deriva sin control por las arenas del desierto. En este carro de combate, que escapa autónomamente de las tropas del mariscal Rommel, sólo hay un superviviente, inicialmente inconsciente, que consigue salir del tanque para tratar de encontrar algún refugio. El comienzo del film ya es bueno. Pero lo que sigue es todavía mejor. El cabo Bramble (que así se llama el superviviente) logra encontrar un hotel medio en ruinas en medio del desierto, que resulta ser la antigua base de operaciones de las tropas inglesas, pero donde ahora quedan dos personas sólo, por haber sido bombardeado los días anteriores, el recepcionista y la mujer de la limpieza. Ante el mal estado del cabo, estas dos personas tratan de aliviar la grave insolación, acompañada de delirios, que padece. Pero entonces llegan el mariscal Rommel y todo su séquito a establecerse algunos días en el hotel. El cabo Bramble se ve obligado a hacerse pasar por el antiguo mozo del hotel, el cual murió en el bombardeo, en un principio con el objeto de tratar de matar a Rommel, cosa de la que desistirá cuando advierte que en realidad dicho anterior mozo era un espía al servicio de los nazis. De tal forma que Bramble tratará ahora de congeniar lo suficiente con el mariscal para averiguar en qué ubicación exacta se hallan los cinco “yacimientos arqueológicos” donde el mariscal Rommel tuvo la previsión de guardar años antes de la guerra la suficiente cantidad de combustible, agua, municiones, y en general provisiones, para no tener que depender de las vías normales de suministro, ahora impracticables, y poder llegar así a tomar la ciudad del Cairo.

En líneas generales esta película, cuyo eje principal es el espionaje que desarrolla el cabo inglés para averiguar dónde deberán bombardear los aliados para acabar con los suministros nazis, resulta ser un film de lo más ecléctico, interesante y sobre todo entretenido. En una única película se conjugan elementos como el espionaje, la Segunda Guerra Mundial en África, el amor, la sumisión y hasta la humillación ante el poder del bando alemán –Mouche, la mujer de la limpieza, trata de que saquen de un campo de concentración a sus hermanos, suplicándoselo al mariscal-, la siempre estereotipada mala conducta de los soldados y ciudadanos nazis, que son todos perversos en casi todas las películas del género, sin aparecer como personas con comportamientos éticamente variables como es lo normal -cosa que por ejemplo en “La lista de Schindler” sí se da-. Hasta incluso queda sitio para un humor muy de mi gusto, por la soberbia caracterización del mariscal Rommel por parte de Erich Von Stronheim, que es capaz de imprimir en la misma el genio militar y el carácter cuadriculado del mariscal,  así como el hecho de que en la película aparece un general italiano, aficionado al canto, que es ninguneado por Rommel, y al que prohíben sus ensayos canoros, y que en cierta escena en la que el cabo Bramble ha colgado su chapa identificativa en una botella de whisky para que los oficiales ingleses apresados adviertan que él es inglés, ofrece de beber también al general italiano exclamando éste algo así como : ¿Qué bebida es ésta, mozo?; Bramble, señor; ¿Bramble?, si no supiera que es Bramble, yo juraría que esto es whisky. 

Pero bueno, no puedo desvelar más cosas de este film. Yo lo único que debo hacer es recomendaros esta película, porque sé que habrá mucha gente a la que le gustará, y porque resulta muy entretenida y según mi opinión es buena, como casi todo lo que llevó a la gran pantalla el bueno de Wilder, -habida cuenta de mis limitaciones como crítico de cine-.