Archivo para 18 septiembre 2020

Rubaiyat. Cuarteta XIX.

 

¡Aunque bebedor, ignoro quién te

modeló, ánfora inmensa!

Sólo se que eres capaz de contener

tres medidas de vino y que un día

la muerte te romperá.

Entonces me preguntaré largo

tiempo por qué fuiste creada, por

qué fuiste feliz y por qué no eres

más que polvo.

 

Omar Khayyám

 

Lo siento

 

Muchas de las cosas que una persona hace o dice no son buenas. A veces te das cuenta de que has metido la pata hasta el fondo, sólo que te das cuenta demasiado tarde, cuando la bomba ya ha sido lanzada. La impulsividad siempre fue una mala consejera. Los que la padecemos nos damos cuenta al poco rato de que no era ésa nuestra intención, que se nos fue de las manos, o quizás que no medimos para nada las consecuencias que nuestra actitud podía acarrear.

Yo no era malo. Pero cada vez que me miro en el espejo noto que soy peor persona. Y me duele notarlo.

Si alguna vez alguna persona se ha sentido herida u ofendida por alguna cosa que yo haya publicado en cualquier sitio de Internet, por favor, que se sienta en su derecho de enojarse conmigo. A veces me comporto como un colegial sin ninguna gracia.

Y que sirva esta entrada para restablecer ese desequilibrio creado. O al menos, en el peor de los casos, como acto de contrición propio. Lo siento.

 

El método de Isaac Newton de interpolación mediante diferencias finitas

 

 

En estas dos hojas estaba Isaac Newton desarrollando el método de interpolación por diferencias finitas, que utilizaría casi dos siglos después Charles Babbage en su diseño de la máquina de diferencias, y cuyo esquema modificó Lagrange adaptándolo a la expresión según polinomios de Lagrange, sabiendo que sólo hay un cambio de base y nada más, el polinomio interpolador de los puntos datos es único para cada problema y siempre el mismo (es fácil de ver si se expresa en la base canónica en ambas expresiones, y dado que la ligadura de ajustar una curva de grado N a N + 1 abscisas es un problema resoluble en un sistema de ecuaciones lineales determinado de Vandermonde), tanto según la forma de Newton, como con la de Lagrange. El verdadero inventor fue Newton, pero para la posteridad quedó como interpolación de Lagrange.

 

 

Saturación y distorsión armónica en señal de audio de un receptor FM con el volumen al máximo

 

En este video que he grabado el otro día, estuve viendo con el osciloscopio la señal de audio de un receptor de radio FM, con el volumen casi al máximo. Se puede observar perfectamente que el amplificador de audio entra en su rango de funcionamiento no-lineal, pasando a saturarse, cuando el volumen topea la máxima tensión que puede caer entre el condensador de filtro y masa.
En ese instante el sonido se distorsiona, por no ser amplificado, al alcanzar la tensión ese máximo valor que decía antes. Al final del video aumento la amplitud de la escala en el eje vertical y paso al modo combinado, mostrando abajo la transformada FFT, que es el estimador espectral empleado. Todo estimador espectral parte del concepto de que nosotros no podemos ver la señal desde menos infinito hasta más infinito en la pantalla del osciloscopio, sino que lo que vemos es la señal en tiempo enventanada con un pulso cuadrado de anchura el período de la señal de sincronismo del eje horizontal. Esto en frecuencia no da la transformada de Fourier de la señal, que es lo que idealmente querríamos obtener, sino la convolución en frecuencia de una función sin pi.w/ pi.w, o sea sinc, con la transformada de Fourier de la señal total en tiempo. Además de ello se aprecia que el espectro estimado no tiene exclusivamente las componentes banda base de la onda (algo similar a un triángulo centrado en el cero de la frecuencia) sino como cabía esperar aparece distorsión armónica, precisamente por estarse saturando el amplificador y no funcionar en su régimen lineal.

 

 

El tema de utilizar distintas transformaciones de la señal en tiempo para ver su composición en frecuencia no resulta extremadamente difícil de explicar. Una función temporal, que en definitiva es un vector en su espacio vectorial, se puede expresar según distintas bases de vectores. En este caso tenemos la base de los impulsos en tiempo, en función de los que podemos expresar con una integral el vector (una integral es un caso límite de una combinación lineal de vectores), y también tenemos la base de los impulsos en frecuencia. Cada impulso en frecuencia, que es un vector o señal, si lo expresamos en la base de los impulsos en tiempo tenemos una señal senoidal, que es una frecuencia pura. El espectro de una señal no es otra cosa que ver la señal o vector en otra base de vectores linealmente independientes distinta. Derivado de esta filosofía aparecen propiedades como el teorema de Parcival, que dice que la energía en frecuencia (La norma al cuadrado del vector en la base de la frecuencia) de una señal coincide con la energía en tiempo (La norma al cuadrado del vector en la base del tiempo). Ésto no es difícil de asimilar si tenemos en cuenta que el vector es en ambos casos el mismo y que en ambos casos usamos el mismo producto escalar, esto es, la integral entre menos infinito y más infinito del producto de la señal por el conjugado de esa misma señal, ya sea en tiempo o en frecuencia, y que arroja como resultado la norma al cuadrado o energía de la señal. En todo momento estamos hablando de un único vector que es la señal, pero a este vector lo podemos referenciar respecto a distintas bases. Lo mismo ocurre con otras transformadas matemáticas que se emplean en telecomunicaciones, como la transformada de Laplace, empleada para señales en las que existe un amortigüamiento, la transformada Wavelet, que emplea como vectores de la base las ondículas o señales chirp, y que permiten elegir la granularidad en nuestro análisis en frecuencia, o la transformada Z.