Archivo para 26 marzo 2020

Condición suficiente de arranque para la convergencia del método de vasos comunicantes en el espacio de Banach L2

 

En mis dos anteriores artículos matemáticos había explicado la heurística y la descripción formal del método de vasos comunicantes, cuyo objeto es obtener mediante una vía indirecta la integral definida de una función regular en un intervalo [a,b].

En el segundo artículo de la serie me había centrado en hallar una condición suficiente que garantizase la convergencia de dicho método, según el esquema de la sucesión de cambio variable. La condición obtenida, que incluyo en la primera imagen de esta entrada, sintetiza en una desigualdad la materialización del concepto de que los operadores que van aplanando la función de partida son liptschitzianos y contractivos. Sin embargo no se trata de una condición fácilmente verificable, dado que su uso implica la comprobación de que se cumple la inecuación para cada valor de k, o al menos para un número finito mayor que 1 de casos.

 

 

Ésta es la motivación que me ha llevado a desarrollar un poco más los cálculos, simplificarlos en la medida de lo posible, y encontrar una expresión en función del rango dinámico de f(x) y el máximo valor del módulo de esta función, cuyo cumplimiento implique además el cumplimiento de la inecuación obtenida en el segundo artículo de la serie, pero que se ponga en práctica en un único paso, con comprobaciones sobre la función de partida f(x).

 

 

La expresión final que encuentro es la de la anterior imagen, y es la que se erige como condición suficiente de convergencia de la sucesión de cambio variable en el espacio de Hilbert L2.

 

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