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Archivo para 11 septiembre 2009

El martín pescador (Alcedo atthis)

  

 

 

En esta entrada hablaré de un ave de gran belleza y atractivo. Se trata del martín pescador (nombre científico Alcedo Atthis), de la familia Alcedinidae. Destaca del martín pescador su bello y colorido plumaje, que combina el azul con el naranja y el blanco. Este pájaro tiene un vuelo rapidísimo, yo mismo lo he observando practicándolo, en concreto en la ría de Rianxo (Pontevedra) y en diferentes ríos gallegos de mi propia localidad natal.

 

El calificativo de “pescador” lo recibe por alimentarse de pequeños peces que caza sumergiéndose debajo del agua con gran celeridad, partiendo en su vuelo desde una atalaya desde la que vigila. En la cría, tanto el macho como la hembra colaboran para hacer una galería en el talud del río, donde pondrán los huevos y cuidarán la progenie. Antes del apareamiento, el martín pescador macho suele hacer regalos “nupciales” a la hembra, más concretamente pececillos.

Se distribuye geográficamente por Europa, y parte de Asia y África.

  

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(9) – Incesto consentido

 

No desarmaré los Cielos,

yo, el no amado,

que el firmamento fue cuajado

en centurias

y macerando prorrumpió del vientre

y aquí refulgen ubicuos

los astros que me acarician.

No clausuraré los frutos,

que de la amargura devienen,

tardos en las jornadas se sazonan

y en la añada endulzan

mis fauces hambrientas.

Ya que el amor cierto

no es hemorragia aguda sino

llanto incubado,

no es víbora sino lenta rosa,

que sutilmente se abre,

no es cópula de criaturas

sino caricia trémula.

El amor, el amor indubitable,

no es decir ahora y recibir el agasajo,

es más bien seguir callado

como herrerillo en escaramuza,

indultando cada ápice.

Dejadme en mi dulce agonía, bastardos,

indignos de vuestra Madre,

observadla en su lento cariño

de eones.

Porque llegará el día

en que más dulce trinará la alondra

en mis oídos,

y la brisa mecerá mis cabellos

como aya y niño de pecho,

y quizás las flores exhalen

un perfume reservado en los siglos,

o tal vez los mares irrumpan

en el talud con el ritmo

de una marcha nupcial,

y así la Madre nos festeje,

y apruebe un amor consentido,

un incesto a voz en grito

otorgado con su silencio.

  

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

Investigaciones, de Stuart Kauffman

 

 

He leído hace unos años un libro de un profesor emérito de biología americano llamado Stuart Kaufman, cuya lectura me resultó muy interesante y amena. El libro se titula “Investigaciones”, y en él se buscan las condiciones elementales para la vida en cualquier mundo. La conclusión a la que llega es que para que un organismo sea un agente autónomo, esto es, un ser con capacidad para adaptarse al medio y utilizarlo en su propio beneficio, debe ser un compuesto molecular autocatalítico en el que se produzca al menos un ciclo termodinámico. Autocatalítico en el sentido de que debe estar en contacto con enzimas (o catalizadores) que permitan el ensamblado de la molécula viva según las reacciones químicas pertinentes y su autoreplicancia -reproducción-, reduciendo la barrera de potencial que separa reactivos y complejo activado. En realidad esas enzimas, en las formas vivas que conocemos, van ligadas a la molécula en sí. Por eso decimos que se autocatalizan. Sin embargo, S. Kauffman da un paso más, y dice por ejemplo que probablemente podría ser posible que algunas moléculas cooperativamente se catalizasen, una parte de A ayudaría a catalizarse B y una parte de B ayudará a catalizarse A, dando lugar a más moléculas A y B. El hecho es que incluso podría ser que, a partir de una sopa de moléculas inicial de muchos tipos éstas se fueran uniendo, de forma que cuando la relación moléculas/conexiones fuese en torno a 2, emergerían de la sopa moléculas muy grandes con posibilidad de catalizarse a sí mismas.

Por lo visto, hasta el momento se han conseguido moléculas que se catalizan y dan lugar a otras moléculas que las contienen, pero todavía no se ha logrado que ejecuten algún ciclo termodinámico. Y no tendrían por qué ser únicamente las moléculas orgánicas -basadas en el Carbono-, las presentes en otras formas vivas.

En el libro “¿qué es la vida?”, de Schröedinger, se planteó una intuición brillantísima en torno a los ladrillos de los que estamos construidos -del ADN que forma las proteínas-. Resulta que Schroëdinger, unos 20 años antes del descubrimiento de Watson y Crick, razonó que nuestras moléculas constituyentes no podrían ser sólidos o cristales regulares, porque la información que contienen está contenida en uno de los ciclos que se repiten, y es por tanto poca. Razonó que serían cristales aperiódicos. Y acertó. Se adelantó al descubrimiento de la doble hélice dextrógira a base de nucleótidos adenina, timina, guanina y citosina.

Al final resulta -según Kauffman- que hay un gran paralelismo entre el segundo principio de la termodinámica y la evolución natural. El segundo principio de la termodinámica establece que la entropía nunca disminuye, esto es, las moléculas chocan entre sí y las que van más rápido se frenan con las otras y las más lentas adquieren velocidad, hacia una situación por tanto de equilibrio térmico, con una gran cantidad de “información térmica” acumulada en el conjunto de todas las moléculas. La evolución natural, siguiendo los procesos de recombinación, mutación y selección natural da lugar por su parte a especies con cada vez más información condensada en su ristra de ADN. Hay cierto paralelismo entre ambas situaciones.

Una de las conclusiones de la biología de Kauffman es que la selección natural por sí misma no explica el fenómeno natural. Es la teoría de la complejidad coadyuvando con la selección natural la que, en virtud a la mera espontaneidad del azar, explica las formas naturales emergentes. Es como si del caos apareciera el orden.

Para los interesados en complejidad, matemáticas y biología, les propongo el libro “investigaciones”, de Stuart Kauffman, Metatemas, Tusquets Editores.

 

La recurrencia, las matemáticas y la ingeniería

 

Para muchos de nosotros es conocido el teorema de punto fijo en alguna de sus versiones -yo por ejemplo conozco la versión de Brower-, y la técnica de resolucion de problemas empleando recurrencia, que suele ser aplicable cuando la función cuyo pto. fijo queremos determinar es Liptchisziana (creo que se escribe así). Se trata de ir calculando las imágenes de los puntos que vamos obteniendo como imagen por la función, a partir de un valor inicial; de forma que en virtud de ser contractiva distan entre sí menos que los puntos que sirvieron de origen para el cálculo entre dos cómputos consecutivos, por lo que nos vamos aproximando al tender el número de iteraciones a infinito al punto fijo de la función.

La resolución de un problema de punto fijo no es más que un caso más general de la resolución de un problema de autovalores y vectores propios. En este tipo de problemas una aplicación lineal actuando sobre determinados vectores nos devuelve algo así como réplicas de sí mismos (en realidad nos devuelve versiones escaladas de ellos).

Otro caso particular de problema de punto fijo es aquél en que un operador funcional actúa sobre una función obteniéndose una versión escalada de esa función, que viene a ser una autofunción, caso similar a un problema de vectores y valores propios.

Es realmente curioso que este tipo de problemas aparezcan con frecuencia en la física y en la ingeniería.

Por ejemplo, una antena dipolo en solitario radia un determinado campo electromagnético. Para calcular el campo radiado es preciso conocer la distribución de corrientes en el dipolo, pero esta distribución es función a su vez de la geometría y del campo radiado, con lo cual entramos en un problema de recurrencia -esto está expresado de forma cualitativa-. Lo que tenemos en este caso es, para el campo radiado solución, a grandes rasgos y siempre desde una perspectiva cualitativa :

Campo radiado = Función1 ( Función2 ( Campo radiado )).

Otro caso similar lo constituye el cálculo de una estructura. Para empezar se parte de una geometría sencilla y se calculan las reacciones que actúan sobre ella imponiendo equilibrio estático, pero estas reacciones dependen de la geometría y a su vez la geometría solución para la estructura a calcular es función de esas reacciones, por lo que tenemos, para la estructura solución, cualitativamente :

Geometría = Función1 ( Función2 ( Geometría))

Hay muchos más casos. Por ejemplo, la ecuación de Schröedinger determina que los niveles de energía son los valores propios de un problema de “autovalores” en el cual el operador funcional Hamiltoniano actúa sobre la función de onda y ésta es un autovector en tal problema. Otro caso similar es el de la ecuación de Dirac, en la que también hay un problema de autovalores, o si queremos de punto fijo, en el cual la función es un operador funcional.

¿Más casos?. Muchos más. Por ejemplo, la ecuación de onda electromagnética en la cual el operador laplaciano actúa sobre el fasor de campo eléctrico solución, siendo este autofunción con valor propio el cuadrado de la constante de propagación de la onda. Por supuesto, en este caso, que viene a decir que el campo es mayor allí donde más rápido varía, la autofunción solución es una exponencial compleja en la variable dimensión de propagación, puesto que las exponenciales son autofunciones para operadores que diferencian.

En el mundo de la programación informática también es utilizada la recurrencia, denominada recursividad, en la cual para hallar un resultado se llama a una función en la cual se hacen llamadas a sí misma, con una condición de salida para retornar a la línea de llamada inicial.

Etcétera, etcétera, ….

En definitiva, el universo está plagado de situaciones que se resuelven mediante técnicas de recurrencia. Lo curioso de esta técnica es que es muy útil para el cálculo en la física y en la ingeniería. ¿Por qué la recurrencia se presta tan bien para resolver problemas, o al menos, por qué parece tan omnipresente?. Personalmente creo que esto se debe  a que las soluciones de los problemas que son “analíticas” (desarrollables en serie de Taylor) se suelen escribir según los desarrollos polinómicos de bajo grado. Para orden 1 la derivada de la solución es constante. Para orden 2, la derivada de la solución es lineal en función de la solución, y para órdenes superiores siempre encontramos dependencia según potencias superiores a 1, que para valores pequeños de la variable se pueden despreciar, de modo que la dependencia principal es la lineal. De ahí viene el hecho de que tantos fenómenos de la naturaleza puedan ser modelados según una ecuación recurrente. Pero una cosa es el modelado y otra cosa es la realidad. Aproximando por una ecuación diferencial lineal estamos abstrayendo información del problema, es algo que no podemos evitar.

 

Integración por el método de las palancas y Arquímedes de Siracusa

 

arquimedes

 

En torno a este personaje existen muchas y variadas leyendas, como aquélla relativa a su descubrimiento del principio de la hidrostática (cuando salió por la calle desnudo y gritando “Eureka!”, procedente de su bañera -la cual según parece no debía visitar mucho ya que mientras estaba metido en ella dibujaba y hacía cálculos en su barriga-, y halló un medio de discernir si la corona que habían fabricado para el rey era sólo de oro o tenía también plata.

También es conocido el temor que infundían sus métodos en el enemigo, en concreto al parecer ya en aquel tiempo se le ocurrió utilizar espejos parabólicos para incendiar las velas de las naves enemigas, concentrando en un espacio reducido una gran cantidad de radiación. Además, mediante el uso de polipastos alzaba en el aire los barcos enemigos cuando éstos se aproximaban al puerto. Un polipasto es un sistema compuesto por dos grupos de varias poleas concéntricas, que reduce la fuerza necesaria para levantar un peso en (1/(2*número de poleas concéntricas)), teniendo que desplazarse una cantidad de cuerda igual a la que habría que desplazar en una polea sencilla multiplicada por (2*número de poleas concéntricas). Por lo tanto se satisface como era de esperar la ley de la conservación de la energía. Y se consigue vencer un gran peso, aplicando poca fuerza, a costa de desplazar mucha cuerda. Los polipastos fueron otra idea original del genial Arquímedes.

Pero bueno, al margen de las mencionadas invenciones, los hechos narrados sólo son leyendas. En cualquier caso, es innegable el genio de este geómetra, que se formó en la Biblioteca de Alejandría.

He mencionado ya los espejos parabólicos, los polipastos, el principio de la hidrostática… Pero es que esto no fue todo… Además, dio una buena aproximación para el número pi, diseñó el tornillo de arquímedes (un tornillo sin fin para subir agua entre dos alturas distintas), descubrió el principio de la palanca (“dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”), y desarrolló para mí su más bella invención: el cálculo de áreas y volúmenes mediante métodos mecánicos. Es el procedimiento de cálculo más ingenioso que he visto.

Arquímedes colocaba dos figuras superpuestas, una de volumen/área conocido (según lo que quisiese calcular), y la otra de volumen/área desconocido, por ejemplo un cilindro y un cono. Además suponía una densidad volumétrica de masa constante para las dos figuras. A partir de la relación entre los contornos de las dos figuras, hallada mediante las ecuaciones que las describen, calculaba geométricamente para una posición genérica en ambas figuras superpuestas la relación entre el peso de una lámina de la figura conocida y una lámina de la figura desconocida, que además son proporcionales a lo que contribuyen en área o en volumen en la figura respectiva. A continuación creaba a partir del punto por donde pasa ese “elemento de volumen o de área” una palanca con fulcro a la izquierda de las  figuras, de tal modo que el peso de la lámina de la figura desconocida por su brazo fuese igual al peso de la lámina conocida por su brazo, teniendo en cuenta la relación antes calculada. Es decir, el método de Arquímedes se basaba en el desplazamiento de todas las láminas (operando para una lámina genérica) de la figura conocida al brazo izquierdo de la palanca. Cuando esta operación estaba concluida tenía dos figuras en una palanca equilibrada, a la izquierda la figura de volumen (proporcional al peso), o área (proporcional al peso) conocidos, y a la derecha la figura de volumen o área desconocido. De tal forma que el peso de la figura desconocida se puede calcular como el de la conocida multiplicado por la razón entre el brazo izquierdo y el brazo derecho (medidos desde el fulcro hasta los centros de gravedad de las dos figuras). En definitiva, como el área o e el volumen son proporcionales al peso, se podía hallar lo buscado, esto es, la relación entre el área o el volumen de las dos figuras, siendo el de la conocida conocido.

Como a Arquímedes este método no le parecía muy formal,  primero lo usaba para determinar los volúmenes o áreas y después obtenía las demostraciones formales mediante reducción al absurdo. Por ello, se cree que mantuvo el método en secreto, y de hecho sólo se supo de su existencia cuando se descubrió un ejemplo de su empleo en un palimpsesto que cubría con las oraciones de un devocionario los cálculos originales de Arquímedes, mucho después de la época de este genio del mundo antiguo.

En pocas palabras, Arquímedes comparaba el peso de dos figuras colocándolas en una balanza. Realmente ingenioso.

 

Los números computables, la máquina Enigma y Alan Mathison Turing

 

 alanturing

 

A mediados del Siglo XX, en el año 1936, un matemático llamado Alan Mathison Turing publicó un artículo de investigación que revolucionó el mundo de la lógica matemática. A principios de siglo, otro matemático de nombre David Hilbert planteó un conjunto de 23 problemas no resueltos por aquel entonces, de vital trascendencia para la disciplina matemática, a la espera de que algunas personas los resolvieran. Hilbert tenía una concepción optimista de las matemáticas, y creía que todo podía ser demostrado, tenía una gran confianza en el poder de esta rama del conocimiento.

Aunque Hilbert no lo incluyó en su lista de problemas de 1900, veintiocho años más tarde otra conferencia de Hilbert hizo trascender otro desafío a las matemáticas modernas, conocido como Entscheidungsproblem, esto es, el problema de la decisión. El problema de la decisión consiste en su planteamiento más general en averiguar si existe un algoritmo genérico que decida si un problema matemático tiene o no demostración. En el planteamiento de Turing, éste lo particularizó, indagando acerca de si existe un procedimiento efectivo con el que se pueda averiguar si una fórmula del cálculo funcional es un teorema o no lo es. En su artículo “Sobre los números computables, con una aplicación al Entscheidungsproblem”, publicado por Turing en 1936 se resuelve esta cuestión, llegándose a la afirmación de que tal algoritmo genérico no existe.

Turing utilizó dos demostraciones para lanzar tal afirmación, consiguiendo un artículo de una gran belleza, originalidad y elegancia.

Para llegar a sus conclusiones, Turing parte de unas máquinas hipotéticas, que en su honor se llamarían después “máquinas de Turing”, y cuyo comportamiento viene a ser parecido al de un automáta o sistema de control secuencial.

Una máquina de Turing es un dispositivo ideal que en cada momento sólo lee el contenido de una única casilla de una cinta de papel que se prolonga en ambas direcciones. En función del contenido de la casilla sobre la que está situada y de la configuración interna (lo que sería el estado del autómata), la máquina bascula hacia otro estado distinto, y después de ésto, realiza alguna operación dependiente del estado, como desplazarse una casilla a la izquierda, o borrar el contenido de la casilla o escribir un símbolo sobre la misma. Se trata pues de un dispositivo secuencial, que opera en base a las secuencias de valores de entrada y de estados de configuración.

Turing también definió lo que ahora se conoce como “máquina de Turing universal”, que es un tipo de máquina que recibe la descripción del comportamiento de una máquina de Turing cualquiera y que reproduce su comportamiento. Tal descripción la recibe como una secuencia de números de entrada que se denominan “número de descripción” o “descripción estándar” de la máquina. Una vez introducido este número en una máquina de Turing universal, ésta imita la máquina de Turing cuyo número de descripción es el introducido. Esta máquina universal vendría a ser como un ordenador con un programa en ejecución, pues es capaz de ejecutar un algoritmo que le pasemos mediante el “programa”. Y una máquina de Turing no universal es en realidad lo equivalente a un programa informático o a un sistema electrónico digital secuencial.

Además, el autor del artículo que aquí describo, distinguió entre máquinas que funcionan sin circularidad y máquinas que funcionan con circularidad. El segundo de estos tipos no es deseable para una máquina de Turing pues significaría que el algoritmo que hemos programado en ella con la tabla de configuración (o con el número de descripción) no llega a pararse nunca, sino que vuelve infinitas veces a operar del mismo modo según el programa, y por tanto dicho algoritmo no genera un resultado.

Si Turing teorizó en base a estas idealizaciones y abstracciones de máquinas de Turing, y máquinas libres de circularidad, lo hizo porque las fórmulas del cálculo funcional tienen un equivalente numérico en base a ciertas reglas, algo similar a lo que hizo Kurt Gödel a las fórmulas lógicas de primer orden en su artículo sobre incompletitud, lo que en dicho contexto se conoce como Gödelización. En base a ciertas premisas, se puede conseguir el equivalente a cualquier fórmula de forma biyectiva, esto es, uno a uno, y así, según esta forma de razonar, una demostración no será otra cosa que una secuencia de números en cierto orden. De aquí viene el uso de máquinas de Turing, pues si una máquina de Turing obtiene una secuencia de números computables, en cuya génesis intervienen las reglas mencionadas, y que siguen a la entrada, en la cual se codifican las premisas de la demostración, y al final se para en el número equivalente a una cierta proposición, éllo significará que de cierta premisa se llega a cierta conclusión, y que ésta es un teorema.

La primera de las demostraciones del teorema se basa en lo siguiente: supongamos que existe un procedimiento que decide si una máquina de Turing se va a parar (no tiene circularidad). Supongamos que hacemos una lista con todas las secuencias posibles de números que proporciona la máquina de Turing ante números de entrada crecientes para un algoritmo (o máquina de Turing) fijo, que no presente circularidad, cosa que podemos hacer dado el supuesto de la existencia de la máquina que decide sobre la parada. Supongamos que esta lista la ampliamos para todas las máquinas de Turing posibles con parada, cada una con la lista de secuencias finitas de números computados. Si ahora empleamos un razonamiento de diagonalización al estilo de Cantor se obtiene lo siguiente:

Tomamos el primer elemento de la primera secuencia de la lista y lo incrementamos en uno, tomamos el segundo elemento de la segunda lista y lo incrementamos en uno, tomamos el  tercero de la tercera lista y lo aumentamos en uno,… tomamos el N-ésimo, para cualquier N, de la N-ésima lista y lo incrementamos la unidad…. Así llegamos a una secuencia que es computable, pero que no figura en la lista de todas las posibles secuencias computables. Es computable, puesto que el proceso de extraer los números de la diagonal y de incrementarlos en uno, a partir de una lista de secuencias computables, es programable en una máquina de Turing. Bastaría con conectar los resultados de todas las máquinas que generan todas las secuencias computables, trabajando en paralelo, a una máquina que es secuencial y por tanto de Turing. Con los actuales diseños electrónicos digitales, esta máquina se podría construir con un demultiplexor de las secuencias computadas, a cuyas líneas de selección de canal de entrada se les aplica un contador, seguido de un sistema combinacional que suma la unidad al número situado a su entrada. Se deduce entonces que el algoritmo o máquina de Turing que obtiene la susodicha secuencia es una operativa computable, pero al no figurar esta nueva secuencia en la lista original que supuestamente contenía todas las secuencias computables posibles, se llega a una contradicción, y el supuesto de la existencia del algoritmo de decisión es falso.

La segunda de las demostraciones es totalmente diferente: supongamos que existe el algoritmo que decide sobre la parada o no de una máquina cualquiera T (ausencia o no de circularidad). Supongamos que conectamos esta máquina D de decisión a una máquina de Turing universal U. El funcionamiento de DU consiste en que a D le pasamos el número de descripción de la máquina T, equivalente al algoritmo cuya parada queremos testear, en caso de decidir que es circular el funcionamiento termina ahí y no hay salida, en caso de no circularidad la máquina D le proporciona a la máquina universal U el número de descripción para que imite la máquina T. La máquina DU así construida es una máquina de Turing libre de circularidad pues sólo da una secuencia finita de salida en el caso de que el algoritmo D cuya existencia suponemos decida que la máquina T no es circular, y en caso de ser circular también da una secuencia de salida finita (secuencia vacía). Ahora bien, supongamos que a la propia máquina DU le introducimos el número de descripción de esa misma máquina DU, el cual existe, por ser DU máquina de Turing. ¿Qué pasará?. Pues pasará que DU verificará que DU no es circular, cosa que suponemos, y a continuación la imitará tomando el número de descripción de DU y viendo que ésta no es circular, con lo cual le pasará el número de descripción de DU de nuevo a sí misma, y así indefinidamente, con lo cual la máquina DU es circular, lo cual contradice la hipótesis de no circularidad de DU y por tanto de la existencia de la máquina D.

Por tanto, no existe un algoritmo genérico que determine si una máquina de Turing cualquiera y, por tanto, una secuencia lógica de razonamientos, terminará su evolución en un resultado. De esta manera, en principio no tenemos forma de saber si una fórmula del cálculo funcional, traducidos sus símbolos a números, tiene demostración o no. (No sabemos de antemano si es o no un teorema, con lo cual ignoramos su naturaleza en cuanto a verdad o falsedad). Ésto implica que también podríamos extender este resultado a un problema matemático genérico, dado que hemos encontrado un contraejemplo que niega ya por sí mismo el enunciado “existe un algoritmo que decide si cualquiera enunciado tiene demostración”, aunque la prueba de Turing relativa al EintschengdungProblem estaba específicamente parcelada a las fórmulas del cálculo funcional. No obstante, en su trabajo hace una descripción muy pormenorizada del funcionamiento de las máquinas de Turing y del concepto de número computable, entendido como aquél que puede ser obtenido mediante cómputo en un número finito de pasos.

 

enigma

 

Alan Turing fue por lo tanto el principal fundador de las bases teóricas de la informática (quizás su principal aportación fue el concepto de computador de programa almacenado en memoria), aunque no debemos olvidar que se debe a John Von Neumann la primera descripción pormenorizada de la arquitectura de computadores que lleva su nombre y que aún hoy se utiliza, y que Claude Shannon desarrolló la teoría matemática de la información, ambos coetáneos suyos. Junto a un equipo de investigadores liderado por el ingeniero británico Tommy Flowers, Turing creó uno de los primeros ordenadores de la historia, el “Colossus”, que en realidad no era un computador de propósito general o máquina de Turing universal. El objetivo de “Colossus” era descifrar los mensajes de comunicaciones emitidos por los nazis, ya avanzada la II Guerra Mundial, encriptados con la máquina “Tunny”, creada por la empresa alemana Lorentz. Esta máquina operaba en código binario y alimentaba con un chorro de bits un teletipo. Dicho flujo transmitido se obtenía a partir de dos sumas binarias sucesivas del chorro original o mensaje en claro pasado al código binario, con dos claves binarias obtenidas mediante el concurso de 12 rotores mecánicos, que se emitía con el teletipo y su propia idiosincrasia de señales. Estos mensajes eran de vital importancia, dado que Tunny era utilizada para las comunicaciones del Alto Mando Alemán. Además de la creación de Colossus y de sus contribuciones a la lógica matemática, Turing fue figura clave en la desencriptación de los mensajes codificados por los alemanes mediante la máquina Enigma, gracias a su diseño y puesta a punto de las máquinas bomba que se usaban para agilizar el descifrado de Enigma. En realidad las máquinas bomba no fueron un invento original del protagonista de esta entrada, ya que que en los primeros embites de la guerra, otro grupo de matemáticos y criptógrafos polacos liderados por el matemático Marian Rejewski construyeron máquinas bomba para agilizar la rotura del código Enigma original. Sus desarrollos fueron comunicados a las inteligencias francesa y británica. Pero los nazis perfeccionaron a base de otros añadidos la codificación Enigma original. Por ello los criptógrafos de Bletchley Park, lugar donde se libró la verdadera guerra contra Enigma y donde Alan Turing trabajó, se vieron sumidos en la total oscuridad en lo que al desciframiento se refiere. Bletchley Park está situado a unos 80 km al Norte de Londres, y allí se construyó un complejo de barracones junto a una mansión victoriana ya existente, utilizándose para las operaciones de la escuela gubernamental de códigos y cifrado (GC&CS), entidad vinculada al servicio secreto británico. La figura de Turing en este lugar fue realmente muy importante, ya que rediseñó las máquinas bomba gracias a los “pellizcos” que los aliados obtuvieron consiguiendo máquinas Enigma y documentación de U-boats capturados, y gracias a su portentosa inteligencia. La existencia del complejo de Bletchley Park fue el secreto mejor guardado de los aliados, y todo lo relacionado con él no fue desclasificado hasta muchos años más tarde del final de la guerra. De hecho, Winston Churchill, primer ministro británico a la sazón, y que fue una de las contadas personas que tenía conocimiento de que se estaban descifrando los mensajes, (que los alemanes consideraban, no sin justificación, indescifrables) en sus círculos más privados designaba a Bletchley Park como “mi oca de los huevos de oro que nunca cacarea”. Una vez terminada la II Gran Guerra, Alan M. Turing llevó a cabo diversas investigaciones pioneras en la biología matemática, relacionadas con la morfogenésis, y en el campo de la inteligencia artificial (a la que aportó los fundamentos y algunos conceptos como el que se conoce como “test de Turing”), usando para ello los primeros computadores que se estaban creando en Gran Bretaña.

Pero tal vez la hazaña de Turing que tuvo más trascendencia práctica -aunque desde luego no fue su mayor logro hablando en términos generales- fue romper el código Enigma de los submarinos nazis, conocido en Bletchley Park como “Shark”. Gracias a ello los convoyes de buques mercantes que viajaban desde Estados Unidos transportando suministros, pudieron ser salvaguardados, después de un gran número de bajas, evitándose la derrota británica en el momento crucial posterior a los bombardeos sobre Inglaterra, cuando Francia ya estaba ocupada por el ejército nazi.

La máquina Enigma brindaba un sistema de encriptación polialfabético con muchísimos alfabetos de sustitución, uno por cada avance de los rotores de la máquina, con lo cual para determinar el mensaje cifrado habría que conocer con exactitud los parámetros involucrados en la puesta en marcha de “Enigma”, esto es, la posición de los rotores y de las clavijas, y por supuesto poseer una Enigma idéntica a la “transmisora”. Un análisis de frecuencias complejo no bastaba para descifrar un mensaje, dado que aún a pesar de que el mensaje transmitido fuese largo, los alfabetos de sustitución se sucedían al pulsar cada tecla y no llegaban a repetirse.

 

enigma2

 

Enigma tenía la apariencia de una máquina de escribir, estaba alimentada por una pila, y su funcionamiento se basaba en cerrar circuitos de corriente continua. Cuando ésto ocurría, es decir, al pulsar cada tecla, la corriente fluía desde el teclado, pasando hacia el panel “stecker” o clavijero, que era configurable, y de éste iba al tambor de entrada, que estaba en contacto con el primer rotor. Cada rotor tenía dos superficies planas a ambos lados y 26 dientes, correspondientes a las 26 letras del alfabeto. Existían hasta cinco rotores con distintos cableados. En cada uno de esos rotores había un cableado diferente entre la interfaz de entrada, que una vez colocado contactaría con el rotor anterior (con el tambor de entrada para el primero de ellos), y su interfaz de salida (que ya posicionado estaba en contacto con el rotor siguiente). Después de la cara de salida del último rotor había un reflector, con el que se conseguía que, a igual configuración de la máquina, una letra del teclado fuese la misma que la letra iluminada en el panel luminoso obtenida por la pulsación de su traspuesta, es decir que Enigma sirviera tanto para cifrar como para descifrar si se usaba la misma clave. Desde el reflector la corriente seguía fluyendo por los rotores en sentido inverso al anterior, pero siguiendo otros caminos eléctricos diferentes; y de nuevo a través del clavijero pasando por otra clavija distinta, y de ahí a un terminal de la bombilla de la letra cifrada (o descifrada según el extremo de comunicaciones en que se operase). Como el otro terminal de cada bombilla estaba conectado con uno de los terminales de cada pulsador, al pulsar sobre él se cerraba el circuito y se obraba el milagro, produciéndose además un avance de una letra del rotor de menos peso, que podía acarrear un avance del rotor siguiente al terminarse una vuelta completa del mismo. Esto mismo ocurría con el segundo rotor y sucesivos, y así hasta las 26 x 26 x 26 pulsaciones en la máquina de 3 rotores, momento en que se volvía a tener la misma configuración de rotores que en la primera letra codificada y por tanto el mismo alfabeto de sustitución. Una letra nunca se codificaba en dos pulsaciones consecutivas con la misma letra cifrada, y asimismo una letra jamás se codificaba igual a sí misma, lo cual brindó a los criptógrafos de Bletchley Park un medio para obtener plantillas de letras posibles en un mensaje, constituyendo uno de los tendones de Aquiles que facilitaron el fracaso de Enigma.

Por si ésto solo de por sí no constituyera un sistema robusto, los alemanes lo pulieron aún más, ofreciendo a sus usuarios una logística que se ponía en práctica con determinada frecuencia, consistente en la actualización de documentación relativa a los rotores empleados cada día, el orden en que se colocaban (diferentes entre los distintos ejércitos de tierra, mar o aire), las letras de posición inicial en cada rotor, así como de las posiciones de las clavijas en el panel stecker, y las tablas de codificación de bigramas. Un bigrama es un conjunto de dos letras. En una tabla de 26 x 26 ítems se representaba para cada bigrama original el bigrama transformado correspondiente (era un esquema “hecho a mano” y que también podía variar). De este modo, el protocolo de cifrado establecía que para trabajar con la Enigma de 3 rotores era necesario en primer lugar consultar en la documentación los 3 rotores concretos del día, el orden en que se colocaban, y la letra que tenía que situarse en cada rotor, y además la configuración del clavijero. Después de ésto el operario transmisor elegía 3 letras del alfabeto al azar (la clave), que serían las letras de ventanilla iniciales para usar Enigma en la fase de codificación. Pero antes de ello, las codificaba mediante la Enigma recién configurada y colocaba en un papel cada letra obtenida emparejada con otra elegida al azar debajo de ella. Los tres pares de letras así obtenidos se transformaban mediante la tabla de bigramas y después esos tres bigramas resultantes se colocaban al principio del mensaje. Las 3 letras clave de partida eran las que servían para reconfigurar de nuevo los tres rotores elegidos, y a partir de este punto se empezaba a codificar el mensaje, comenzando la transmisión Morse con los tres bigramas obtenidos a partir de la clave en la operativa antes descrita, pero sin codificar con Enigma, es decir, tal cual se generaron; a lo que seguía ya el mensaje cifrado según lo que fuese “soltando” la máquina mediante los sucesivos cierres de circuitos de corriente. De esta manera, para descifrar se operaba de manera inversa para obtener la clave usada; es decir, se configuraba Enigma con los rotores, posiciones, letras, y clavijas concretos del día; luego se obtenían los 3 bigramas intermedios mediante la tabla de bigramas en sentido inverso. El paso siguiente era coger las tres letras superiores de dichos tres bigramas intermedios y pulsarlas en Enigma, obteniéndose las letras de los rotores empleadas como clave. Se reconfiguraban entonces con ellas los rotores colocándolas como “letras de ventanilla”, y se descodificaba pulsando las letras codificadas y obteniéndose las traspuestas (u originales).

No es muy difícil el darse cuenta de que el número de configuraciones posibles de Enigma era descomunal, del orden de más de diez mil billones de configuraciones. Por ello la máquina Enigma era un sistema muy robusto y dificilísimo de desencriptar. El sistema Enigma viene a ser parecido en cierto modo al cifrado Vigènere, que es también polialfabético, pero que tiene un número de alfabetos diferentes para codificar cada mensaje solamente igual al número de letras de la palabra clave. Enigma tenía una “letra de palabra clave” por cada posición de los rodillos, y éstos realizaban un avance por cada pulsación de una letra en el teclado, generándose en cada pulsación un nuevo alfabeto de sustitución para la letra siguiente.

Por su importante contribución al descifrado de los mensajes Enigma, Turing fue condecorado con la Orden del Imperio Británico.

La muerte de Turing fue prematura y triste. Se cree que se suicidó comiendo una manzana envenenada con cianuro, aunque la verdad no se conoce con certeza absoluta. En un juicio en el que tuvo que prestar declaración, derivado de un robo perpetrado en su casa, tuvo que confesar que era homosexual, y entonces ésto estaba penado por la jurisdicción británica. Le dieron como opciones ir a la cárcel o someterse a un “tratamiento” de castración química basado en hormonas. Eligió lo segundo, pero la consecuencia fue su pérdida de forma física (era un consumado atleta que incluso estuvo a punto de ser elegido para los primeros Juegos Olímpicos posteriores a la II Guerra Mundial, y ésto le afectó mucho) y las taras psicológicas que posiblemente perturbaron aún más su mente, cosa que para un científico destacado como él lo fue tiene que ser una gran desdicha, al saberse incapaz de pensar con claridad. En otras palabras, le hicieron la vida imposible. Pero sus contribuciones han trascendido por su importancia, para el goce de las generaciones presentes y venideras, y para el bien de la mayor cooperativa mundial, la ciencia; y es a él a quien se le puede atribuir el mérito de ser quizás el primero y mayor de los padres conceptuales de los computadores tal y como hoy los conocemos. Quién sabe a lo que llegaría un espíritu agudo y creativo como el de Turing si no muriese a la edad de 42 años. En cualquier caso, es meridianamente claro que la sociedad y en particular la justicia, no fueron lo que se dice recíprocos con él en relación a las impresionantes contribuciones a la Humanidad, en todo su sentido, con que este genio polifacético del Siglo XX nos obsequió.

 

Papilio Machaon

 

 

 macaon

 

Hablaré a continuación de una prima de la ya descrita Iphiclides Podalirius, que rivaliza con ella en belleza y envergadura. Se trata de la Papilio Machaon (nombre científico), o Macaón (nombre vulgar), y está protegida desde hace años en parte de su zona de distribución,  en concreto aquí en España también lo está.

Son muy características las colas de las alas inferiores y su envergadura, entre 30 y 57 mm. Su hábitat oscila en altitud entre el nivel del mar y en torno a los 1500 metros, preferentemente incluye prados y sitios con flores. No se encuentra en las islas británicas, salvo en un pequeño reducto, y así como cada vez se hace más escasa en Europa, también es cierto que su población ha aumentado mucho en el Norte de África y en Asia y América del Norte, con diferentes subespecies descritas. Particularmente, yo la he observado en el Monte de O Castro en Vigo (Pontevedra), en Madrid y en Foz (Lugo).

La oruga es de color verde y posee al igual que la Chupaleche un osmeterio, órgano defensivo.

 

(8) – Tributo a William Shakespeare

 

 

¿Quién no ha disfrutado alguna vez de aquel soneto de Shakespeare que incluye lo que sigue:

 

“Si a mis días colmados sobrevives,

y cuando esté en el polvo de la muerte

por ventura relees

los inhábiles versos de tu amigo,

con lo mejor de tu época compáralos

y aunque todas las plumas los excedan

guárdalos por mi amor, no por mis rimas,

superadas por hombres más felices” ?.

 

Hay que reconocer que estos versos con rima, escritos en lengua inglesa, son todo un espectáculo.

William Shakespeare es considerado por la mayoría de críticos y escritores como el mejor autor en lengua inglesa. Algún día dedicaré algún artículo más extenso a este genio literario, pero de momento dejo aquí un poema de mi cosecha, para hacerle el honor que tal prohombre se merece. Sería una asignatura pendiente no hablar de Shakespeare en esta web, pero lo dejaré para más adelante.  

 

Tributo a William Shakespeare 

 

Cuando la rosa mustia

que conservo se pudra

irreversiblemente,

y el río que en algún lugar

se besó con su afluente

tras los suaves meandros

muera en el mar;

cuando la cigüeña blanca

yazca con su cigüeño blanco

bajo los reverberos

de un sol hiriente

tras muchos años de solaz,

y cuando el verde trigo

parido de la simiente

a los amigos incomode

en el paladar

convertido en hostia crujiente

de bendecido pan…

Cuando el cirio

que un día se prendió

con un abrazo inocente

agote su cera en un altar

y las campanas doblen

por el aquí presente

yo qué sé en qué lugar;

y en ese día que me convierta

en terrateniente

de un recinto cuadrangular

asistas al funeral

de aquél que tanto te amó

y que tú no quisiste amar,

llorarás amargamente,

pero mi dicha cambiará

porque olvidaré la rosa

y el río, y la cigüeña

y el cirio y el trigo

y el pan

y a aquella niña inocente

cuya bondad ciertas

noches me hizo llorar,

y olvidaré esta quimera

que ahora describo impaciente

que me consume

hasta el final.

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.