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Archivo para 25 agosto 2009

Infinitas soluciones de una sucesión numérica (1)

 

Dada la sucesión numérica,

1,  2,  6,  42,  1806, …

¿qué número sigue la serie?. La respuesta a esta pregunta es ambigüa, puesto que cualquier sucesión puede ser continuada de cualquier manera, si bien la solución que se nos suele pedir es aquélla en la que no nos salimos de los números naturales. Pero veremos ahora que si los números pueden ser reales existen infinitas soluciones.

Lógicamente la solución “incremental” es muy sencilla. Basta con elevar al cuadrado el anterior y sumarle ese mismo número, partiendo de 1 para el primer término.

Si queremos expresar esto en forma de polinomio, tenemos para n empezando en 1 ( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …), el siguiente polinomio, que se verifica para todos los términos menos para el primero, el cuarto y el quinto :

 An = (n – 1) ^ 2  +  (n –  1)

Si ahora queremos que además esta ley se adapte al primer término ( A1 =  1), nos basta con hacer :

 An =  (n – 1) ^ 2  +  (n – 1)  +  (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

pues es un polinomio cuyo tercer sumando se anula para los 4 valores de n siguientes a 1, no así para n=1, para el cual da el 1 necesario para sumarle al 0 que dan para ese término los dos primeros sumandos.

Si queremos que además se adapte el término cuarto tendremos en cuenta que para n = 4 el valor de An según la anterior expresión sería de 12, por lo tanto debemos sumar una cantidad de 30, lo cual conseguimos con el término:  (n-1)(n-2)(n-3) 5. De este modo nos queda el siguiente polinomio, que pasa por los primeros 4 valores :

An =  (n – 1) ^ 2  +  (n – 1)  +  (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) +  5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) .

Finalmente, para conseguir que el polinomio de An pase además por el quinto término de la sucesión tendremos en cuenta que para ese valor de n = 5 el anterior polinomio toma una ordenada igual a 140, por lo que nos bastará con sumar un término adicional de  (1666/24)(n-1)(n-2)(n-3)(n-4). Nos queda entonces el polinomio siguiente, que pasa por los 5 primeros valores de n :

An =  (n – 1) ^ 2  +  (n – 1)  +  (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) +  5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) + (1666/24)(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4).

Para demostrar de modo fehaciente y sencillísimo que existen infinitas soluciones al problema (siempre y cuando se nos permita salirnos de los números naturales), basta con que consideremos el siguiente polinomio :

An =  (n – 1) ^ 2  +  (n – 1)  +  (1 / 24) ( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) +  5 (n – 1)(n – 2)(n – 3) + (1666/24)(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) +  a ( n – 1)( n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5)

Para cualquier valor “a” que elijamos, el polinomio aquí representado pasa por los 5 primeros términos dados como dato, y además dependiendo del valor “a” escogido tendremos un valor diferente para el término 6 de la serie.

Y estas soluciones son buenas, porque están resumidas en una ley lógica, que por supuesto también se podría poner en forma “incremental”, que tomaría la forma de una ecuación en diferencias.

En otras palabras, existen infinitos polinomios que pasan por un conjunto dado finito de puntos, y como en los problemas de sucesiones numéricas se nos pide el número / números que continúan la serie, habría en principio infinitas soluciones (si los números pueden ser reales o complejos). La razón de esto será explicada en entradas siguientes de este mismo hilo.

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(4) – Las lágrimas negras de Enola Gay

  

El 6 de agosto de 1945 es una fecha triste para la humanidad. Desde el avión Enola Gay se lanzó sobre Hiroshima la bomba atómica Little Boy.  (El nombre del avión está tomado de una de las madres de los militares que iban a bordo). Al cabo de unos minutos después de la deflagración, y debido a la rápida evaporación de la humedad y agua de la zona, empezó a caer una lluvia de grandes goterones negros, que duró algún tiempo. Como los quemados supervivientes a la explosión tenían mucha sed, bebieron de aquella agua fuertemente contaminada, lo que supuso su fin inminente. De esta forma, no sólo fallecieron las víctimas directas de la explosión, sino también los que tomaron aquella agua envenenada más los que quedaron y desarrollaron cánceres y sus sucesivas generaciones, que heredaron de tal suceso malformaciones congénitas y enfermedades incurables. Como triste recuerdo -y en el honor- de todos los fallecidos a causa de Little Boy he escrito este poema.

 

“Las lágrimas negras de Enola Gay”

 

 

Si las tristes lágrimas negras de Enola Gay, lloviendo,

derritiesen radiactivamente corazones,

derritiesen tu corazón

dejándolo en carne viva.

Si lubricasen los candados perennemente oxidados

y convirtiesen campos yermos en vergeles,

si regasen los rosales en los hombres

y traspasasen cráneos,

traspasasen tu cráneo

trasustanciándose en una borrachera

de dopamina fresca en tu sistema límbico…

Si las tristes lágrimas negras de Enola Gay, lloviendo,

asesinasen la sed y el hambre,

necrosizasen los recios tejidos

del odio, la envidia y la venganza,

y diluviando inundasen todo de amor,

te inundasen de amor verdadero,

¡oh, mujer re-querida!,

entonces se cumpliría el imposible

epitafio de la inocente difunta:

Enola Gay requiescat in pace.

 

© El rostro sagrado, Sergeantalaric, 2012.

 

Carta del jefe Sioux al presidente de los Estados Unidos

 

jefesioux

 

En el año 1854 un presidente de los Estados Unidos llamado Franklin Pierce envió una oferta de compra a un Jefe Sioux de la tribu de los Suwamish. A cambio de una reserva para el pueblo indio se pretendían obtener los terrenos del Noroeste de Estados Unidos. Se cree que fue el Jefe Sioux quien respondió con la siguiente carta, una misiva de singular belleza, que nos hace pensar entre otras cosas que los humanos, independientemente de las razas, poseemos unas cualidades que nos hacen únicos, y que el don de ser poeta tanto puede nacer en un indio ignorante del avance cultural y científico del mundo occidental moderno, como en un burgués de un país europeo, o en un mendigo. Es el don de la sensibilidad, y puede ser poseído por personas de las más dispares condiciones de vida y de las más diversas culturas, al igual que sucede con todos los dones que manifestamos los humanos en nuestros actos creativos y de entendimiento. Hay quien piensa que la carta que a continuación he copiado no fue redactada por el jefe indio, sino que fue su médico quien lo hizo, ante la sospecha del posible analfabetismo del guerrero Sioux. Me da igual que fuera así, creo que esta raza ya casi extinta en el mundo bien se merece el beneficio de la duda y en cualquier caso el contacto permanente con la naturaleza ha hecho de los indios personas que saben apreciar como nadie el verdadero valor del planeta, y que paladean con verdadera filosofía propia la vida que sus dioses les concedieron, y ésas son razones más que suficientes como para que la sospecha de que la autoría real del texto no sea del guerrero quede difuminada y hasta si me apuro anulada. Fuese quien fuese el verdadero autor, aquí os queda para vuestro disfrute, merece realmente la pena el leerla.

 
Jefe de los Caras Pálidas: ¿Cómo se puede comprar o vender el cielo o el calor de la tierra?, esa es para nosotros una idea extraña. Si nadie puede poseer la frescura del viento ni el fulgor del agua, ¿cómo es posible que usted se proponga comprarlos? Cada pedazo de esta tierra es sagrado para mi pueblo. Cada rama brillante de un pino, cada puñado de arena de las playas, la penumbra de la densa selva, cada rayo de luz y el zumbar de los insectos son sagrados en la memoria y vida de mi pueblo. La savia que recorre el cuerpo de los árboles lleva consigo la historia del piel roja. Los muertos del hombre blanco olvidan su tierra de origen cuando van a caminar entre las estrellas. (…) Somos parte de la tierra y ella es parte de nosotros. Las flores perfumadas son nuestras hermanas; el ciervo, el caballo, el gran águila, son nuestros hermanos. Los picos rocosos, los surcos húmedos de las campiñas, el calor del cuerpo del potro yel hombre, todos pertenecen a la misma familia. (…)Los ríos son nuestros hermanos, sacian nuestra sed. Los ríos cargan nuestras canoas y alimentan a nuestros niños. Si les vendemos nuestras tierras, ustedes deben recordar y enseñar a vuestros hijos que los ríos son nuestros hermanos, y los suyos también. Por lo tanto, vosotros deberéis dar a los ríos la bondad que le dedicarían a cualquier hermano. Sabemos que el hombre blanco no comprende nuestras costumbres. (…)No hay un lugar quieto en las ciudades del hombre blanco. Ningún lugar donde se pueda oír el florecer de las hojas en la primavera, o el batir las alas de un insecto. (…) ¿Que resta de la vida si un hombre no puede oír el llorar solitario de una ave o el croar nocturno de las ranas al rededor de un lago?. (…)El aire es de mucho valor para el hombre piel roja, pues todas las cosas comparten el mismo aire -el animal, el árbol, el hombre – todos comparten el mismo soplo. Parece que el hombre blanco no siente el aire que respira. Como una persona agonizante, es insensible al mal olor. Pero si vendemos nuestra tierra al hombre blanco, el debe recordar que el aire es valioso para nosotros, que el aire comparte su espíritu con la vida que mantiene. El viento que dio a nuestros abuelos su primer respiro, también recibió su último suspiro. Si les vendemos nuestra tierra, ustedes deben mantenerla intacta y sagrada, como un lugar donde hasta el mismo hombre blanco pueda saborear el viento azucarado por las flores de los prados. Por lo tanto, vamos a meditar sobre vuestra oferta de comprar nuestra tierra. Si decidimos aceptar, impondré una condición: el hombre blanco debe tratar a los animales de esta tierra como a sus hermanos. Soy un hombre salvaje y no comprendo ninguna otra forma de actuar. Vi un millar de búfalos pudriéndose en la planicie, abandonados por el hombre blanco que los abatió desde un tren al pasar .(…) No comprendo como es que el caballo humeante de fierro puede ser más importante que el búfalo, que nosotros sacrificamos solamente para sobrevivir. ¿Qué es el hombre sin los animales?. Si todos los animales se fuesen, el hombre moriría de una gran soledad de espíritu, pues lo que ocurra con los animales, en breve ocurrirá a los hombres. Hay una unión en todo. Para que respeten la tierra, digan a sus hijos que ella fue enriquecida con las vidas de nuestro pueblo. (…)Esto es lo que sabemos: la tierra no pertenece al hombre; es el hombre el que pertenece a la tierra. Esto es lo que sabemos: todas la cosas están relacionadas como la sangre que une una familia. Hay una unión en todo. Lo que ocurra con la tierra recaerá sobre los hijos de la tierra. El hombre no tejió el tejido de la vida; el es simplemente uno de sus hilos. Todo lo que hiciere al tejido, lo hará a sí mismo. Incluso el hombre blanco, cuyo Dios camina y habla como él, de amigo a amigo, no puede estar exento del destino común. Es posible que seamos hermanos, a pesar de todo. De una cosa estamos seguros que el hombre blanco llegará a descubrir algún día: nuestro Dios es el mismo Dios.(…) El es, el Dios del hombre, y su compasión es igual, tanto para el hombre piel roja como para el hombre blanco. (…)Cuando nos despojen de esta tierra, ustedes brillarán intensamente iluminados por la fuerza del Dios que los trajo a estas tierras y por alguna razón especial les dio el dominio sobre la tierra y sobre el hombre piel roja. Este destino es un misterio para nosotros, pues no comprendemos el que los búfalos sean exterminados, los caballos bravíos sean todos domados, los rincones secretos del bosque denso sean impregnados del olor de muchos hombres y la visión de las montañas obstruida por hilos de hablar.

  

Charla en la Laguna de Cospeito

  

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Este sábado, día 13 de agosto, daré una pequeña charla de aproximadamente media hora de duración en la Laguna de Cospeito, de temática ornitológica, y fundamentalmente enfocada en el campo de las aves acuáticas. La laguna de Cospeito es una de las pocas lagunas de interior de Galicia, y es lugar de encuentro de una gran amalgama de aves limícolas, anáticas, ardéidos, rállidos, phalacrocorácidos, podicidipédidos y otras familias, sobre todo en la época de la invernada, que va desde diciembre hasta febrero, momento en que los censos ven disparadas las cantidades de ejemplares observados por el incremento ocasionado por las aves invernantes.

  

(3) – Yo confieso

 

Yo confieso que

no quiero escribir algo bello.

Yo sólo quiero escribir algo sincero.

Podría armarme con tu hermosura

absorbiéndote con la mirada quieta

y absorbiendo el mundo

y decir por ejemplo

que el niño ha sonreído

o que el río se entumece

tras las lágrimas de Dios

o que el alcaudón corteja

con natural fruición a la hembra

y ambos son dichosos.

Y podría decir que el agua

susurra la historia del arroyo

y de los hombres.

Y que las montañas han vivido

el escalofrío y el temblor

del continente.

Podría decir que te he visto

llorar en abril

o que el mar transporta

la sabiduría de los pueblos,

y que el petirrojo abandera

con su egoísmo este margen

del bosque al atardecer.

También podría decir

que eres hija de la misma

Madre que trae cada hombre

y cada pájaro y cada flor,

y que te hizo bella y buena

como todo lo que ella

decide.

Y que una yerta rama invernal

parirá la misma vida

que conmueve al mendigo

y al terrateniente.

O que cuando callas

tienes el poder de hacer

llorar a un noble.

Y que el Cielo aguarda

a los hombres buenos.

Pero todo ello sería incierto.

Y sólo bastarían dos líneas

que dijesen que si tú quisieras

te amaría hasta el último

de mis estertores.

 

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.

 

El petirrojo (Erithacus rubecola)

  

 

El petirrojo es un pequeño pájaro europeo de la familia de los Túrdidos, de apariencia muy característica, con el pecho de un rojo anaranjado y el resto del cuerpo más bien de tonalidad parda. Es un ave de canto muy agradable, y característico de los atardeceres de primavera y verano. Tiene un comportamiento marcadamente territorial, y llega incluso a atacar a otros ejemplares de la misma especie y se vuelve agresivo cuando irrumpen en su territorio. He encontrado nidos del petirrojo en pequeñas galerías de los setos naturales separadores de pinares y prados, en los propios pinares, e incluso en bosques de hoja caduca. Incluso he observado a la hembra incubando los huevos.

 

Los radiofaros Consol (Elektra-Sonne) – (1) Introducción –

 

 

Comienzo en esta entrada mi iniciativa particular para que no se pierda en el olvido la trascendencia que han tenido las antenas alemanas construidas bajo el mandato de Hitler -con permiso de Franco- allá por el año 1942, en la localidad de Arneiro (municipio de Cospeito). Recientemente han caido al suelo debido a un temporal de viento las dos torres que quedaban en pie (eran inicialmente tres torres). En particular, mi interés tiene que ver más bien con el aspecto técnico, y en consecuencia a partir de este momento publicaré en esta web una serie de mini-artículos dedicados fundamentalmente a la historia y funcionamiento de la estación radioeléctrica Elektra-Sonne (llamada también Consol) que operaba desde Arneiro con una frecuencia de portadora de 285 KHz., como recuerdo de una tecnología pasada que en parte, al menos desde el punto de vista conceptual, supuso la constitución de uno de los ancestros del Sistema GPS de Posicionamiento actual. Para acometer esta tarea repartiré el gran conjunto de conceptos que es preciso manejar en pequeñas entradas independientes, de tal forma que de forma global se puedan entender con el grado de profundidad que se quiera los entresijos de este sistema radiante.

 

(2) – Soneto dedicado al Café Callejón Álvarez de Gato

 

En la Calle Elfo, barrio de Pueblo Nuevo, distrito de Ciudad Lineal (Madrid), existe un café llamado “Callejón de Álvarez de Gato” -nombre tomado de la obra de Valle Inclán “Luces de Bohemia”-, que es un sitio muy bien decorado -por náyades de cuerpo serrano entre otras cosas-, y donde se come fenomenalmente. Aquí escribo un soneto que le he dedicado.

 

Soneto al Café Callejón Álvarez de Gato 

 

Si por la calle Elfo anda despistado

y en Madrid busca la suprema sensación,

pare y pruebe los huevos rotos con jamón

de los dioses manjar más apreciado.

 

Con desenfado sirve Luis cada ración,

junto a náyades de cuerpo serrano

tomaremos dos tintos de verano

y bolandrines para toda una legión.

 

Y ahora que todo eso saco a colación

y lo escribo con lenta y diestra mano

y oficio del que de este bar es beato

 

le dirijo mi mejor recomendación,

amigo, del yantar quedará ufano,

si come en Callejón Álvarez de Gato.

 

© El rostro sagrado, SergeantAlaric, 2012.